a) Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny.

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

 

---

Mamy dane:

$H=4\text{cm}$  

$V=36\sqrt{3}{\text{cm}}^3$  

---

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa.

$V=P_p\cdot H$  

$36\sqrt{3}=P_p\cdot 4\mid :4$  

$9\sqrt{3}=P_p$  

$P_p=9\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Wyznaczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

$9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\mid :\sqrt{3}$  

$9=\frac{a^2}{4}\mid \cdot 4$  

$36=a^2$  

$6=a$  

$a=6\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

$P_b=3\cdot a\cdot H=3\cdot 6\cdot 4=3\cdot 24=72\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.P_b=72{\text{cm}}^2.$  

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

---

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość przekątnej ściany bocznej graniastosłupa.

$p^2=a^2+H^2$  

$p^2=6^2+4^2$  

$p^2=36+16$  

$p^2=52$  

$p=\sqrt{52}$  

$p=2\sqrt{13}\left[\text{cm}\right]$  

---

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy cosinus kąta 𝛼.

$\cos \alpha =\frac{a}{p}=\frac{6}{2\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}\cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$  

---

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.\cos \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13}.$  

---

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

---

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości przekroju.

$h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=p^2$  

$h^2+{\left(\frac{6}{2}\right)}^2={\left(2\sqrt{13}\right)}^2$  

$h^2+3^2=52$  

$h^2+9=52\mid -9$  

$h^2=43$  

$h=\sqrt{43}\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy pole przekroju.

$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{6\cdot \sqrt{43}}{2}=3\sqrt{43}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

$\mathbf{O}\mathbf{d}\mathbf{p}.P=3\sqrt{43}{\text{cm}}^2.$