Wykonajmy rysunek pomocniczy.

 

---

Wyznaczamy długości boków trójkąta ABC.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(3-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(5-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(3+3\right)}^2+{\left(5+3\right)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$      

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(x_C-x_B\right)}^2+{\left(y_C-y_B\right)}^2}=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(-3-5\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(x_C-x_A\right)}^2+{\left(y_C-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(1-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(-3-\left(-3\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(1+3\right)}^2+{\left(-3+3\right)}^2}=\sqrt{4^2+0^2}=\sqrt{16+0}=\sqrt{16}=4$  

---

Drugie współrzędne punktów A i C są równe -3. Zatem punkty te leżą na prostej o równaniu:

$y=-3$  

---

Równanie tej prostej zapiszmy w postaci ogólnej.

$y=-3\mid +3$  

$y+3=0$  

---

Wyznaczamy odległość punktu B od prostej AC, czyli wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka B.

$h=\frac{\left|A\cdot x_B+B\cdot y_B+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|0\cdot 3+1\cdot 5+3\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{\left|0+5+3\right|}{\sqrt{0+1}}=\frac{\left|8\right|}{\sqrt{1}}=\frac{8}{1}=8$  

---

Obliczamy pole trójkąta ABC.

$P=\frac{\left|AC\right|\cdot h}{2}=\frac{4\cdot 8}{2}=\frac{32}{2}=16$  

---

Wyznaczamy połowę obwodu tego trójkąta.

$p=\frac{\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|AC\right|}{2}=\frac{10+2\sqrt{17}+4}{2}=\frac{14+2\sqrt{17}}{2}=7+\sqrt{17}$  

---

Wyznaczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC wiedząc, że pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy obwodu trójkąta i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

$P=p\cdot r$  

$16=\left(7+\sqrt{17}\right)\cdot r\mid :\left(7+\sqrt{17}\right)$  

$\frac{16}{7+\sqrt{17}}=r$  

---

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$r=\frac{16}{7+\sqrt{17}}=\frac{16}{7+\sqrt{17}}\cdot \frac{7-\sqrt{17}}{7-\sqrt{17}}=\frac{16\left(7-\sqrt{17}\right)}{7^2-{\left(\sqrt{17}\right)}^2}=\frac{16\left(7-\sqrt{17}\right)}{49-17}=\frac{16\left(7-\sqrt{17}\right)}{32}=\frac{7-\sqrt{17}}{2}$