Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

---

I. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest jedną trzecią wysokości tego trójkąta, więc: 

$r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

Wobec tego:

$\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\mid :\sqrt{3}$  

$1=\frac{a}{6}\mid \cdot 6$  

$6=a$  

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym stanowi dwie trzecie wysokości tego trójkąta, więc:

$r=\frac{2}{3}\cdot \frac{b\sqrt{3}}{2}=\frac{b\sqrt{3}}{3}$  

Wobec tego:

$\sqrt{3}=\frac{b\sqrt{3}}{3}\mid :\sqrt{3}$  

$1=\frac{b}{3}\mid \cdot 3$  

$3=b$  

Skala podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta A₁B₁C₁ jest równa:

$\frac{a}{b}=\frac{6}{3}=2$  

Zdanie fałszywe.

---

II. Skala podobieństwa trójkąta A₁B₁C₁ do trójkąta ABC jest równa:

$\frac{b}{a}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$  

Zdanie prawdziwe.

---

III. Stosunek obwodu trójkąta ABC do obwodu trójkąta A₁B₁C₁ jest równy:

$\frac{3a}{3b}=\frac{3\cdot 6}{3\cdot 3}=\frac{6}{3}=2$  

Zdanie prawdziwe.

---

IV. Stosunek pola trójkąta A₁B₁C₁ do pola trójkąta ABC jest równy:

$\frac{\frac{b^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{b^2}{a^2}={\left(\frac{b}{a}\right)}^2={\left(\frac{3}{6}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$  

Zdanie prawdziwe.