Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

---

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równość:

$a^2+b^2=c^2$  

---

Pole trójkąta jest równe 6 cm², więc:

$\frac{a\cdot b}{2}=6\mid \cdot 2$  

$ab=12$  

---

Obwód trójkąta wynosi 12 cm, zatem:

$a+b+c=12\mid -c$  

$a+b=12-c\mid {\left(\dots \right)}^2$  

${\left(a+b\right)}^2={\left(12-c\right)}^2$  

$a^2+2ab+b^2=144-24c+c^2$  

$a^2+b^2+2ab=144-24c+c^2$  

$c^2+2ab=144-24c+c^2\mid -c^2$  

$2ab=144-24c$  

$2\cdot 12=144-24c$  

$24=144-24c\mid +24c$  

$24+24c=144\mid -24$  

$24c=120\mid :24$  

$c=5\left[\text{cm}\right]$  

---

Wyznaczamy długości pozostałych boków trójkąta.

$\{\begin{array}{l}a+b=12-c\\ a^2+b^2=c^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b=7\mid -b\\ a^2+b^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=7-b\\ {\left(7-b\right)}^2+b^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=7-b\\ 49-14b+b^2+b^2=25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=7-b\\ 2b^2-14b+24=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=7-b\\ b^2-7b+12=0\end{array}$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy jego pierwiastki.

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$  

$b_1=\frac{-\left(-7\right)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{7-1}{2}=\frac{6}{2}=3$  

$b_2=\frac{-\left(-7\right)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{7+1}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Wobec tego:

$\{\begin{array}{l}a=7-b\\ b=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=7-b\\ b=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=7-3\\ b=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=7-4\\ b=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=3\\ b=4\end{array}$  

---

Zatem:

$\{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\\ c=5\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=3\\ b=4\\ c=5\end{array}$  

---

Obliczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=\frac{2}{2}=1\left[\text{cm}\right]$  

---

Obliczamy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

$R=\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}\cdot 5=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\left[\text{cm}\right]$  

---

Odp. Boki trójkąta mają długości 3 cm, 4 cm, 5 cm, promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość 1 cm, a promień okręgu opisanego na trójkącie - 2,5 cm.