Wyznaczamy sin 𝛼, korzystając z jedynki trygonometrycznej. 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{4}{9}=1\mid -\frac{4}{9}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{5}{9}$  

$\left|\sin \alpha \right|=\frac{\sqrt{5}}{3}$  

Ponieważ 𝛼 należy do I ćwiartki układu współrzędnych, to sin 𝛼 > 0.

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$  

Wyznaczamy tg 𝛼.

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$  

Obliczamy wartość danego wyrażenia.

$\frac{1}{{\text{tg}}^2\alpha }-2=\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2}-2=\frac{1}{\frac{5}{4}}-2=1\cdot \frac{4}{5}-2=\frac{4}{5}-\frac{10}{5}=-\frac{6}{5}=-1\frac{1}{5}$