Z treści zadania wiemy, że:

$\{\begin{array}{l}{S}_3=12\\ S_{11}=132\end{array}$  

Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego. 

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1+a_3}{2}\cdot 3=12\\ \frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 11=132\end{array}$  

Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Różnicę tego ciągu oznaczymy przez r.

$\{\begin{array}{l}\frac{a_1+a_1+2r}{2}\cdot 3=12\\ \frac{a_1+a_1+10r}{2}\cdot 11=132\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{2a_1+2r}{2}\cdot 3=12\mid :3\\ \frac{2a_1+10r}{2}\cdot 11=132\mid :11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1+r=4\mid -r\\ a_1+5r=12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-r\\ 4-r+5r=12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-r\\ 4+4r=12\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-r\\ 1+r=3\mid -1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-r\\ r=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4-2\\ r=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ r=2\end{array}$  

Wyznaczamy wyrazy drugi i trzeci.

$a_2=a_1+r=2+2=4$  

$a_3=a_1+2r=2+2\cdot 2=2+4=6$  

Liczby (2, 4, 6) są pierwiastkami wielomianu w(x), zatem:

$x^3+n{x}^2+44x+m=\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)$  

$x^3+n{x}^2+44x+m=\left(x^2-4x-2x+8\right)\left(x-6\right)$  

$x^3+n{x}^2+44x+m=\left(x^2-6x+8\right)\left(x-6\right)$  

$x^3+n{x}^2+44x+m=x^3-6x^2-6x^2+36x+8x-48$  

$x^3+n{x}^2+44x+m=x^3-12x^2+44x-48$  

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach, otrzymujemy, że:

$\{\begin{array}{l}n=-12\\ m=-48\end{array}$  

Rozwiązujemy daną nierówność.

$\left(4-x^2\right)\cdot w\left(x\right)\ge 0$  

$-\left(x^2-4\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)\ge 0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\left(x^2-4\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)\le 0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)\le 0$  

$\left(x+2\right){\left(x-2\right)}^2\left(x-4\right)\left(x-6\right)\le 0$  

Szkicujemy przybliżony wykres wielomianu. Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy z prawego górnego rogu. Pierwiastki -2, 4 oraz 6 są jednokrotne, a pierwiastek 2 jest dwukrotny.

Z rysunku odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x\in (-\infty ;-2⟩\cup \left\{2\right\}\cup ⟨4;6⟩$