Przyjmijmy oznaczenia:

$x$  - długość jednego boku prostokąta,  $x>0,$  

$d-x$  - długość drugiego boku prostokąta,  $d-x>0,$  stąd  $0<x<d.$  

Tworzymy funkcję określającą objętość walca powstałego w wyniku obrotu tego prostokąta względem boku o długości $d-x$ . 

$V\left(x\right)=\pi \cdot x^2\cdot \left(d-x\right)=\pi \cdot \left(x^{2}d-x^3\right)=\pi \cdot \left(-x^3+x^{2}d\right)$  

Rysunek pomocniczy:

Szukamy takiej wartości  $x\in \left(0;d\right),$  dla której funkcja  $V$  przyjmuje wartość największą.

Obliczamy pochodną funkcji  $V.$  

$V{}^{\prime }\left(x\right)=\pi \cdot \left(-3x^2+2dx\right)$  

Dziedziną pochodnej funkcji  $V$  jest zbiór  $D_{V{}^{\prime }}=\left(0;d\right).$  

Rozwiązujemy równanie  $V{}^{\prime }\left(x\right)=0.$  

$\pi \cdot \left(-3x^2+2dx\right)=0\mid :\pi$  

$-3x^2+2dx=0$  

$-x\left(3x-2d\right)=0$  

$\underset{\notin D_{V{}^{\prime }}}{x=0}\text{lub}3x-2d=0$  

$3x=2d$  

$x=\frac{2d}{3}$  

Rozwiązujemy nierówność  $V{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$\pi \cdot \left(-3x^2+2dx\right)>0\mid :\pi$  

$-3x^2+2dx>0$  

$-x\left(3x-2d\right)>0$  

$x\in \left(0;\frac{2d}{3}\right)$  

Rozwiązujemy nierówność  $V{}^{\prime }\left(x\right)<0.$  

$\pi \cdot \left(-3x^2+2dx\right)<0\mid :\pi$  

$-3x^2+2dx<0$  

$-x\left(3x-2d\right)<0$  

$x\in \left(\frac{2d}{3};d\right)$  

Rozwiązaniem nierówności  $V{}^{\prime }\left(x\right)>0$  jest przedział  $\left(0;\frac{2d}{3}\right).$  W przedziale tym funkcja  $V$  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  $V{}^{\prime }\left(x\right)<0$  jest przedział  $\left(\frac{2d}{3};d\right).$  W przedziale tym funkcja  $V$  jest malejąca.

Pochodna funkcji  $V$  zmienia znak z " $+$ " na " $-$ " w punkcie  $x=\frac{2d}{3}.$  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  $x=\frac{2d}{3}$  funkcja  $V$  ma maksimum. Dla  $x=\frac{2d}{3}$  funkcja  $V$  przyjmuje wartość największą w przedziale  $\left(0;d\right).$  Wyznaczamy tę wartość.

$V\left(\frac{2d}{3}\right)=\pi \cdot \left(-{\left(\frac{2d}{3}\right)}^3+{\left(\frac{2d}{3}\right)}^{2}d\right)=\pi \cdot \left(-\frac{8d^3}{27}+\frac{4d^2}{9}\cdot d\right)=$  

$=\pi \cdot \left(-\frac{8d^3}{27}+\frac{4d^3}{9}\right)=\pi \cdot \left(-\frac{8d^3}{27}+\frac{12d^3}{27}\right)=\pi \cdot \frac{4d^3}{27}=\frac{4\pi d^3}{27}$  

Wymiary prostokąta, którego obrót pozwolił otrzymać walec o największej objętości, to:  $\frac{2d}{3}$  x  $\frac{d}{3}$  .