Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABD:

$d^2=a^2+b^2$  

Z tw. Pitagorasa dla trójkąta DBH:

$p^2=d^2+c^2$  

$p^2=a^2+b^2+c^2$  

$p=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$  

---

Chcemy znaleźć takie liczby całkowite a, b, c, dla których 5<p<6, czyli 25<a²+b²+c²<36.

Wybieramy długości boków a oraz b, a następnie dobieramy długość boku c tak, by nierówności były spełnione. Przy czym unikamy powtórzeń tych samych wymiarów (tzn. przyjmujemy, że prostopadłościany o wymiarach 1 x 3 x 4 oraz 1 x 4 x 3 to takie same prostopadłościany). 

• dla a=b=1 mamy a²+b²=2 i wówczas c=5 ( wtedy a²+b²+c²=2+25=27),
  
  
• dla a=1, b=2 mamy a²+b²=1+4=5 i wówczas c=5 ( wtedy a²+b²+c²=5+25=30),
  
  
• dla a=1, b=3 mamy a²+b²=1+9=10 i wówczas c=4 ( wtedy a²+b²+c²=10+16=26),
  
  
• dla a=1, b=3 mamy a²+b²=1+9=10 i wówczas c=5 ( wtedy a²+b²+c²=10+25=35),
  
  
• dla a=1, b=4 mamy a²+b²=1+16=17 i wówczas c=4 ( wtedy a²+b²+c²=17+16=33),
  
  
• dla a=b=2 mamy a²+b²=4+4=8 i wówczas c=5 ( wtedy a²+b²+c²=8+25=33),
  
  
• dla a=2, b=3 mamy a²+b²=4+9=13 i wówczas c=4 ( wtedy a²+b²+c²=13+16=29),
  
  
• dla a=b=3 mamy a²+b²=9+9=18 i wówczas c=3 ( wtedy a²+b²+c²=18+9=27),
• dla a=b=3 mamy a²+b²=9+9=18 i wówczas c=4 ( wtedy a²+b²+c²=18+16=34).

---

Odp. Prostopadłościany mogą mieć wymiary:

• 1 x 1 x 5,
• 1 x 2 x 5,
• 1 x 3 x 4,
• 1 x 3 x 5,
• 1 x 4 x 4,
• 2 x 2 x 5,
• 2 x 3 x 4,
• 3 x 3 x 3,
• 3 x 3 x 4.