Treść:

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości $x$ . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

a) Wyznacz objętość $V$  drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej $x$ .

b) Wyznacz dziedzinę funkcji $V$ .

c) Oblicz tę wartość $x$ , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja $V$  osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

---

Rozwiązanie:

a)

Przekrojem każdej z tych litewek jest kwadrat o boku długości $x$ . Obliczamy łączną długość listewek.

Mamy więc:

$4\cdot \left(6-x\right)+4\cdot \left(10-3x\right)+4\cdot \left(6-2x\right)=4\cdot \left(6-x+10-3x+6-2x\right)=$  

$=4\cdot \left(6-x+10-3x+6-2x\right)=4\cdot \left(22-6x\right)=8\left(11-3x\right)$  

Objętość całego szkieletu jest równa:

$V\left(x\right)=x\cdot x\cdot 8\left(11-3x\right)=x^2\cdot \left(88-24x\right)=88x^2-24x^3=-24x^3+88x^2$