Treść:

Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (zobacz rysunek). Kąt ABC ma miarę 121°, a kąt BOC ma miarę 40°.

Kąt AOB ma miarę

A. 59°

B. 50°

C. 81°

D. 78°

---

Rozwiązanie:

Zaznaczmy na okręgu dowolny punkt D - dzięki temu otrzymamy czworokąt ABCD wpisany w okrąg.

---

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc suma miar jego przeciwległych kątów wynosi 180°. Stąd:

$\left|\sphericalangle ABC\right|+\left|\sphericalangle CDA\right|={180}^{\circ }$  

${121}^{\circ }+\left|\sphericalangle CDA\right|={180}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle CDA\right|={59}^{\circ }$  

---

Kąty CDA i COA to kąt wpisany i kąt środkowy oparte na tym samym łuku.

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa niż miara kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Zatem:

$\left|\sphericalangle COA\right|=2\left|\sphericalangle CDA\right|=2\cdot {59}^{\circ }={118}^{\circ }$  

---

Kąty AOB i BOC tworzą kąt COA, więc:

$\left|\sphericalangle AOB\right|+\left|\sphericalangle BOC\right|=\left|\sphericalangle COA\right|$  

$\left|\sphericalangle AOB\right|+{40}^{\circ }={118}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle AOB\right|={78}^{\circ }$  

---

Prawidłowa odpowiedź to D.