Treść:

Punkt C=(0, 0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D=(3, 4) .

Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB.

---

Rozwiązanie:

Najpierw wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej CD, następnie równanie prostej AB (prostej prostopadłej do prostej CD), a na koniec wyznaczymy współrzędne punktów przecięcia prostej AB z osiami układu współrzędnych (czyli współrzędne punktów A i B).

Współczynnik kierunkowy prostej o równaniu $y=ax+b$ , przechodzącej przez punkty $\left(x_1,y_1\right)\text{i}\left(x_2,y_2\right)$ , gdzie $x_1\ne x_2$ , jest równy:

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$  

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej CD.

$a_{CD}=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}$  

Proste $y=a_{1}x+b_1\left(a_1\ne 0\right)\text{i}y=a_{2}x+b_2$  są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:  $a_2=-\frac{1}{a_1}$ .

Współczynnik kierunkowy prostej AB jest więc równy:

$a_{AB}=-\frac{1}{a_{CD}}=-\frac{1}{\frac{4}{3}}=-\frac{3}{4}$  

Równanie tej prostej możemy zapisać w postaci:

$y=-\frac{3}{4}x+b$  

Do powyższego równania wstawiamy współrzędne punktu D (który należy do tej prostej) i wyznaczamy  $b$ .

$4=-\frac{3}{4}\cdot 3+b$  

$\frac{16}{4}=-\frac{9}{4}+b\mid +\frac{9}{4}$  

$\frac{25}{4}=b$  

Prosta AB dana jest równaniem:

$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$  

Prosta będąca wykresem funkcji liniowej  $y=ax+b$  przecina oś Ox w punkcie $\left(-\frac{b}{a},0\right)$  .

Prosta AB przecina oś Ox w punkcie A. Wyznaczamy współrzędne tego punktu.

$A:\left(-\frac{\frac{25}{4}}{-\frac{3}{4}},0\right)=\left(\frac{25}{3},0\right)$  

Prosta będąca wykresem funkcji liniowej $y=ax+b$  przecina oś Oy w punkcie $\left(0,b\right)$ .

Prosta AB przecina oś Ox w punkcie B. Wyznaczamy współrzędne tego punktu.

$B:\left(0,\frac{25}{4}\right)$  

 

Długość odcinka o końcach w punktach  $A=\left(x_A,y_A\right)\text{i}B=\left(x_B,y_B\right)$  obliczamy ze wzoru:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$  

Obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC, czyli długość odcinka AB.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(0-\frac{25}{3}\right)}^2+{\left(\frac{25}{4}-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-\frac{25}{3}\right)}^2+{\left(\frac{25}{4}\right)}^2}=\sqrt{\frac{625}{9}+\frac{625}{16}}=\sqrt{\frac{10000}{144}+\frac{5625}{144}}=\sqrt{\frac{15625}{144}}=\frac{125}{12}$