Niech D, E, F będą punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt ABC z bokami odpowiednio BC, CA, AB.

Przyjmijmy oznaczenia:

$AB=c,BC=a,AC=b.$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Z twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy:

$\left(1\right)BD=BF,$  

$\left(2\right)CD=CE,$  

$\left(3\right)AE=AF.$  

Odcinki tej samej długości zaznaczono tym samym kolorem.

Długość odcinka BD oznaczmy przez  $x$ . Dostajemy wtedy:

$DC=BC-BD=a-x,$  

$AE=AC-EC\stackrel{\left(2\right)}{=}AC-DC=b-\left(a-x\right)=b-a+x,$  

$FB=AB-AF\stackrel{\left(3\right)}{=}AB-AE=c-\left(b-a+x\right)=c-b+a-x.$  

Wobec tego

$x=c-b+a-x,$  

czyli

$2x=c-b+a,$  

stąd

$x=\frac{c-b+a}{2},$  

a więc

$BD=\frac{c+a-b}{2}.$  

Udowodniliśmy równość podaną w zadaniu.