W trójkącie ABC poprowadzono wysokość CD. Koła o średnicach ...- Zadanie 13: Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:

$A D = a, D B = b, B D = c, C A = d, C D = e .$

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

Pola dwóch księżyców zaznaczyliśmy innym kolorem, ponieważ rozwiązanie tego zadania podzielimy na dwie części. W pierwszej udowodnimy, że suma pól obszarów zaznaczonych kolorem zielonym jest równa polu trójkąta ACD, a w drugiej udowodnimy, że suma pól obszarów zaznaczonych kolorem czerwonym jest równa polu trójkąta BCD.

Część I

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy równość

$a^{2} + e^{2} = d^{2} .$

Pokażemy, że suma pól półkoli, których średnicami są przyprostokątne trójkąta prostokątnego ACD jest równa polu półkola, którego średnicą jest przeciwprostokątna tego trójkąta.

$\frac{1}{2} \cdot π \cdot (\frac{1}{2} a)^{2} + \frac{1}{2} \cdot π \cdot (\frac{1}{2} e)^{2} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{2} π \cdot \frac{1}{4} e^{2} = \frac{1}{8} π a^{2} + \frac{1}{8} π e^{2} =$

$= \frac{1}{8} π (a^{2} + e^{2}) = tw. P. \frac{1}{8} π \cdot d^{2} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{1}{4} d^{2} = \frac{1}{2} \cdot π \cdot (\frac{1}{2} d)^{2}$

Odcinki półkola, którego średnicą jest odcinek AC (białe obszary) są wspólne dla półkoli, których średnicami są przyprostokątne trójkąta prostokątnego ACD i półkola, którego średnicą jest przeciwprostokątna tego trójkąta. Oznacza to, że suma pól obszarów zaznaczonych na zielono jest równa polu trójkąta prostokątnego ACD.

Część II

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy równość

$b^{2} + e^{2} = c^{2} .$

Pokażemy, że suma pól półkoli, których średnicami są przyprostokątne trójkąta prostokątnego BCD jest równa polu półkola, którego średnicą jest przeciwprostokątna tego trójkąta.

$\frac{1}{2} \cdot π \cdot (\frac{1}{2} b)^{2} + \frac{1}{2} \cdot π \cdot (\frac{1}{2} e)^{2} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{1}{4} b^{2} + \frac{1}{2} π \cdot \frac{1}{4} e^{2} = \frac{1}{8} π b^{2} + \frac{1}{8} π e^{2} =$

$= \frac{1}{8} π (b^{2} + e^{2}) = tw. P. \frac{1}{8} π \cdot c^{2} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{1}{4} c^{2} = \frac{1}{2} \cdot π \cdot (\frac{1}{2} c)^{2}$

Odcinki półkola, którego średnicą jest odcinek BC (białe obszary) są wspólne dla półkoli, których średnicami są przyprostokątne trójkąta prostokątnego BCD i półkola, którego średnicą jest przeciwprostokątna tego trójkąta. Oznacza to, że suma pól obszarów zaznaczonych na czerwono jest równa polu trójkąta prostokątnego BCD.

Pokazaliśmy, że suma pól czterech księżyców jest równa polu trójkąta ABC.