a)

Mamy dany układ równań

$\{\begin{array}{l}3x+y=4\\ x-2y=-15\end{array}.$  

Obliczamy wyznacznik W. 

$W=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& -2\end{array}\right|=3\cdot \left(-2\right)-1\cdot 1=-6-1=-7$  

Ponieważ wyznacznik W jest różny od zera, to dany układ jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie).

Obliczamy wyznaczniki W_x oraz W_y.

$W=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ -15& -2\end{array}\right|=4\cdot \left(-2\right)-\left(-15\right)\cdot 1=-8+15=7$  

$W=\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& -15\end{array}\right|=3\cdot \left(-15\right)-1\cdot 4=-45-4=-49$  

Wyznaczamy  $x$  oraz  $y$ . 

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{7}{-7}=-1$  

$y=\frac{W_y}{W}=\frac{-49}{-7}=7$  

Rozwiązaniem układu jest więc para  $\left(-1,7\right)$ .

---

b)

Dany układ równań jest równoważny układowi

$\{\begin{array}{l}x-2y=-12\\ -x+y=3\end{array}.$  

Obliczamy wyznacznik W. 

$W=\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-\left(-1\right)\cdot \left(-2\right)=1-2=-1$  

Ponieważ wyznacznik W jest różny od zera, to dany układ jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie).

Obliczamy wyznaczniki W_x oraz W_y.

$W_x=\left|\begin{array}{cc}-12& -2\\ 3& 1\end{array}\right|=-12\cdot 1-3\cdot \left(-2\right)=-12+6=-6$  

$W_y=\left|\begin{array}{cc}1& -12\\ -1& 3\end{array}\right|=1\cdot 3-\left(-1\right)\cdot \left(-12\right)=3-12=-9$  

Wyznaczamy  $x$  oraz  $y$ .

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{-6}{-1}=6$  

$y=\frac{W_y}{W}=\frac{-9}{-1}=9$  

Rozwiązaniem układu jest więc para  $\left(6,9\right)$ .

---

c)

Mamy dany układ równań

$\{\begin{array}{l}x-3y=7\\ -\frac{1}{3}x+y=5\end{array}.$  

Obliczamy wyznacznik W. 

$W=\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ -\frac{1}{3}& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-\left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \left(-3\right)=1-1=0$  

Ponieważ wyznacznik W jest równy 0, to dany układ nie jest oznaczony. Nie wiemy natomiast, czy układ równań jest nieoznaczony czy sprzeczny.

Obliczamy wyznacznik W_x.

$W_x=\left|\begin{array}{cc}7& -3\\ 5& 1\end{array}\right|=7\cdot 1-5\cdot \left(-3\right)=7+15=22y$  

Wyznacznik W_x jest różny od 0.

Stąd otrzymujemy, że dany układ jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

---

d)

Przekształcamy równoważnie dany układ równań.

$\{\begin{array}{l}2x-3y=5x+y+12\mid -5x\\ 4y-8x=15+9y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3x-3y=y+12\mid -y\\ -8x+4y=15+9y\mid -9y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3x-4y=12\\ -8x-5y=15\end{array}$  

Obliczamy wyznacznik W. 

$W=\left|\begin{array}{cc}-3& -4\\ -8& -5\end{array}\right|=\left(-3\right)\cdot \left(-5\right)-\left(-8\right)\cdot \left(-4\right)=15-32=-17$  

Ponieważ wyznacznik W jest różny od zera, to dany układ jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie).

Obliczamy wyznaczniki W_x oraz W_y.

$W=\left|\begin{array}{cc}12& -4\\ 15& -5\end{array}\right|=12\cdot \left(-5\right)-15\cdot \left(-4\right)=-60+60=0$  

$W=\left|\begin{array}{cc}-3& 12\\ -8& 15\end{array}\right|=\left(-3\right)\cdot 15-\left(-8\right)\cdot 12=-45+96=51$  

Wyznaczamy  $x$  oraz  $y$ .

$x=\frac{W_x}{W}=\frac{0}{-17}=6$  

$y=\frac{W_y}{W}=\frac{51}{-17}=-3$  

Rozwiązaniem układu jest więc para  $\left(0,-3\right)$ .

---

e)

Przekształcamy równoważnie dany układ równań.

$\{\begin{array}{l}4y-x=y+3x-5\mid -3x\\ -10x+2y-8=-23+2x-7y\mid -2x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4x+4y=y-5\mid -y\\ -12x+2y-8=-23-7y\mid +7y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4x+3y=-5\\ -12x+9y-8=-23\mid +8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4x+3y=-5\\ -12x+9y=-15\end{array}$  

Obliczamy wyznacznik W. 

$W=\left|\begin{array}{cc}-4& 3\\ -12& 9\end{array}\right|=-4\cdot 9-\left(-12\right)\cdot 3=-36+36=0$  

Ponieważ wyznacznik W jest równy 0, to dany układ nie jest oznaczony. Nie wiemy natomiast, czy układ równań jest nieoznaczony czy sprzeczny.

Obliczamy wyznacznik W_x.

$W_x=\left|\begin{array}{cc}-5& 3\\ -15& 9\end{array}\right|=-5\cdot 9-\left(-15\right)\cdot 3=-45+45=0$  

Wyznacznik W_x jest równy 0. Musimy zatem obliczyć również wyznacznik W_y.

$W_y=\left|\begin{array}{cc}-4& -5\\ -12& -15\end{array}\right|=-4\cdot \left(-15\right)-\left(-12\right)\cdot \left(-5\right)=-60+60=0$  

Wyznacznik W_y również jest równy 0. Stąd otrzymujemy, że dany układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań).

Wyznaczmy  $y$  z pierwszego równania.

$-4x+3y=-5\mid +4x$  

$3y=4x-5\mid :3$  

$y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$  

Dany układ równań spełnia każda para postaci  $\left(x,\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}\right)$ , gdzie  $x\in \mathbb{R}$ .

---

Uwaga! W książce podano błędną odpowiedź do podpunktu d).