a)

Układ równań rozwiążemy metodą podstawiania.

Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą  $x$  i podstawiamy ją do drugiego równania. Otrzymujemy kolejno układy równoważne.

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ x+2y=23\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ y+8+2y=23\end{array}$  

Rozwiązujemy drugie równanie, a pierwsze przepisujemy.

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ 3y+8=23\mid -8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ 3y=15\mid :3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=y+8\\ y=5\end{array}$  

Znalezioną wartość  $x$  podstawiamy do pierwszego równania.

$x=5+8$  

$x=13$  

Rozwiązaniem układu jest para liczb

$\{\begin{array}{l}x=13\\ y=5\end{array}.$  

---

b)

Układ równań rozwiążemy metodą przeciwnych współczynników.

Mamy już układ równań, w którym współczynniki przy  $y$  są liczbami przeciwnymi.

$\{\begin{array}{l}x+y-7=0\\ x-y+1=0\end{array}$  

Równania dodajemy stronami.

$x+y-7+x-y+1=0$  

Wyrażenia zawierające  $y$  redukują się i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą  $x$ .

$2x-6=0\mid +6$  

$2x=6\mid :2$  

$x=3$  

Układ tego równania i jednego z równań poprzedniego układu jest równoważny danemu. Jego rozwiązanie jest rozwiązaniem danego układu.

$\{\begin{array}{l}x=3\\ x+y-7=0\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}x=3\\ 3+y-7=0\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y-4=0\mid +4\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}$   

---

c)

Przekształcamy równania i otrzymujemy kolejno układy równoważne.

$\{\begin{array}{l}2y+x=y-2x+5\mid -y\\ y-2x=x-2y-9\mid -x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y+x=-2x+5\mid -x\\ y-3x=-2y-9\mid -y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-3x+5\\ -3x=-3y-9\mid :\left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-3x+5\\ x=y+3\end{array}$  

Układ rozwiążemy metodą podstawiania.

Z pierwszego równania wyznaczyliśmy niewiadomą  $y$ . Podstawiamy ją do drugiego równania. Otrzymujemy układ równoważny.

$\{\begin{array}{l}y=-3x+5\\ x=-3x+5+3\end{array}$  

Rozwiązujemy drugie równanie, a pierwsze przepisujemy.

$\{\begin{array}{l}y=-3x+5\\ x=-3x+8\mid +3x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-3x+5\\ 4x=8\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-3x+5\\ x=2\end{array}$  

Znalezioną wartość  $x$  podstawiamy do pierwszego równania.

$y=-3\cdot 2+5$  

$y=-6+5$  

$x=-1$  

Rozwiązaniem układu jest para liczb

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}.$