a)

Niech  $x_1$ ,  $x_2$  będą argumentami należącymi do zbioru liczb rzeczywistych  $\mathbb{R}$  takimi, że

$x_1<x_2.$   

Powyższa nierówność jest równoważna nierównościom:

$2x_1<2x_2,$  

$-2x_1>-2x_2,$  

$3-2x_1>3-2x_2.$  

Stąd otrzymujemy, że

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right).$  

To oznacza, że funkcja  $f$  jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych  $\mathbb{R}$ . 

---

b)

Niech  $x_1$ ,  $x_2$  będą argumentami należącymi do zbioru liczb rzeczywistych  $\mathbb{R}$  takimi, że

$x_1<x_2.$   

Powyższa nierówność jest równoważna nierównościom:

$\sqrt{3}{x}_1<\sqrt{3}{x}_2,$  

$2\sqrt{3}{x}_1<2\sqrt{3}{x}_2,$  

$2\sqrt{3}{x}_1+1<2\sqrt{3}{x}_2+1.$  

Stąd otrzymujemy, że

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right).$  

To oznacza, że funkcja  $f$  jest rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych  $\mathbb{R}$ .

---

c)

Niech  $x_1$ ,  $x_2$  będą argumentami należącymi do zbioru dodatnich liczb rzeczywistych  ${\mathbb{R}}_{+}$  takimi, że

$x_1<x_2.$   

Powyższa nierówność jest równoważna nierówności:

$x_1^2<x_2^2.$   

Stąd otrzymujemy, że

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right).$  

To oznacza, że funkcja  $f$  jest rosnąca w zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych  $\mathbb{R}$ .

---

d)

Niech  $x_1$ ,  $x_2$  będą argumentami należącymi do zbioru $\left(-\infty ;1\right)$  takimi, że

$x_1<x_2.$   

Badamy znak różnicy  $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ . 

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{x_1+2}{x_1-1}-\frac{x_2+2}{x_2-1}=\frac{\left(x_1+2\right)\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}-\frac{\left(x_2+2\right)\left(x_1-1\right)}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}=$  

$=\frac{\left(x_1+2\right)\left(x_2-1\right)-\left(x_2+2\right)\left(x_1-1\right)}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}=$  

$=\frac{x_1{x}_2-x_1+2x_2-2-\left(x_2{x}_1-x_2+2x_1-2\right)}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}=$  

$=\frac{x_1{x}_2-x_1+2x_2-2-x_2{x}_1+x_2-2x_1+2}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}=$  

$=\frac{-3x_1+3x_2}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}=\frac{-3\stackrel{<0}{\left(x_1-x_2\right)}}{\underset{<0}{\left(x_2-1\right)}\underset{<0}{\left(x_1-1\right)}}>0$  

Znak wyrażenia  $x_1-x_2$  otrzymamy, przekształcając założenie:

$x_1<x_2,$  

$x_1-x_2<0.$  

Różnica $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$  jest większa od 0, czyli

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0,$  

a stąd otrzymujemy, że

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right).$  

To oznacza, że funkcja  $f$  jest malejąca w zbiorze  $\left(-\infty ;1\right)$ .

---

e)

Niech  $x_1$ ,  $x_2$  będą argumentami należącymi do zbioru liczb rzeczywistych  $\mathbb{R}$  takimi, że

$x_1<x_2.$   

Badamy znak różnicy  $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ .

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{4-2x_1}{5}-\frac{4-2x_2}{5}=\frac{4-2x_1-\left(4-2x_2\right)}{5}=$  

$=\frac{4-2x_1-4+2x_2}{5}=\frac{-2x_1+2x_2}{5}=\frac{-2\stackrel{<0}{\left(x_1-x_2\right)}}{5}>0$  

Znak wyrażenia  $x_1-x_2$  otrzymamy, przekształcając założenie:

$x_1<x_2,$  

$x_1-x_2<0.$  

Różnica $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$  jest większa od 0, czyli

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0,$  

a stąd otrzymujemy, że

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right).$  

To oznacza, że funkcja  $f$  jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych  $\mathbb{R}$ .

---

f)

Niech  $x_1$ ,  $x_2$  będą argumentami należącymi do zbioru liczb rzeczywistych  $\mathbb{R}$  takimi, że

$x_1<x_2.$   

Badamy znak różnicy  $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ . 

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{3x_1-5}{2}-\frac{3x_2-5}{2}=\frac{3x_1-5-\left(3x_2-5\right)}{2}=$  

$=\frac{3x_1-5-3x_2+5}{2}=\frac{3x_1-3x_2}{2}=\frac{3\stackrel{<0}{\left(x_1-x_2\right)}}{2}<0$  

Znak wyrażenia  $x_1-x_2$  otrzymamy, przekształcając założenie:

$x_1<x_2,$  

$x_1-x_2<0.$  

Różnica $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$  jest mniejsza od 0, czyli

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0,$  

a stąd otrzymujemy, że

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right).$  

To oznacza, że funkcja  $f$  jest rosnąca w zbiorze liczb całkowitych  $\mathbb{R}$ .