Równość kątów BAK i PAC wykażemy, pokazując równość kątów BAP i KAC, ponieważ:

$\sphericalangle BAK=\sphericalangle BAP+\sphericalangle PAK,$  

$\sphericalangle PAC=\sphericalangle KAC+\sphericalangle PAK.$  

Przyjmijmy oznaczenia:

$\sphericalangle BAP=\alpha ,\sphericalangle KAC=\beta .$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy. 

 

Suma miar kątów ABP i ACP jest równa 180^o. Oznacza to, że na czworokącie ABPC można opisać okrąg.

Kąty BAP i BCP są oparte na tym samym łuku.

Kąty wpisane w okrąg i oparte na łukach równej długości (w szczególności na tym samym łuku) są równe. Wynika stąd, że

$\sphericalangle PCB=\sphericalangle PAB=\alpha .$  

Zaznaczmy to na rysunku.

Miara kąta ACK jest równa:

$\sphericalangle ACK=\sphericalangle ACP-\sphericalangle PCK={90}^{\circ }-\alpha .$  

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie jest równa 180^o. Oznacza to, że:

$\sphericalangle ACK+\sphericalangle CKA+\sphericalangle KAC={180}^{\circ },$  

po podstawieniu mamy

${90}^{\circ }-\alpha +{90}^{\circ }+\beta ={180}^{\circ },$  

a stąd otrzymujemy

$\beta =\alpha .$  

Udowodniliśmy równość kątów BAK i PAC.