Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{x^2-2x+2}$  

Stosujemy podstawienie:

$g\left(x\right)=x^2-2x+2,x\in ⟨0,4⟩$  

 

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji g, wiedząc, że  $x\in ⟨0,4⟩.$  

Funkcja g to funkcja kwadratowa, zatem aby wyznaczyć jej zbiór wartości musimy obliczyć wartości funkcji g na krańcach przedziału  $⟨0,4⟩$  i w wierzchołku:

$g\left(0\right)=0-0+2=2$  

$g\left(4\right)=4^2-2\cdot 4+2=10$  

Obliczmy współrzędne wierzchołka funkcji g:

$x_w=-\frac{-2}{2}=1\in ⟨0,4⟩$  

$g\left(x_w\right)=g\left(1\right)=1-2+2=1$  

 

Najmniejsza wartość funkcji g w przedziale  $⟨0,4⟩$  to  $1,$  a największa to  $10,$  zatem zbiór wartości funkcji g to:

$Z{W}_g=⟨1,10⟩$  

Stosujemy podstawienie:

$g\left(x\right)=t,t\in ⟨1,10⟩$  

 

Oznaczamy:

$h\left(t\right)={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^t$  

 

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji h, wiedząc, że $t\in ⟨1,10⟩$  :

$h\left(1\right)={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^t={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^1=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$h\left(10\right)={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^t={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{10}={\left(\frac{2}{4}\right)}^5={\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$  

 

Zbiór wartości funkcji h to:

$Z{W}_h=⟨\frac{1}{32},\frac{\sqrt{2}}{2}⟩$  

Zbiór wartości funkcji h jest taki sam jak zbiór wartości funkcji f, zatem:

$Z{W}_f=⟨\frac{1}{32},\frac{\sqrt{2}}{2}⟩$