Dane jest równanie:

$\left(m-2\right)x^2-\left(m-4\right)x+m=3$  

Zatem:

$\left(m-2\right)x^2-\left(m-4\right)x+m-3=0$  

Podane równanie ma dwa rozwiązania jeśli są spełnione warunki:

$1\text{)}m-2\ne 0$  

$m\ne 2$  

$2\text{)}\Delta >0$  

Obliczmy wartość wyróżnika:

$\Delta ={\left(-\left(m-4\right)\right)}^2-4\cdot \left(m-2\right)\left(m-3\right)=$  

$=m^2-8m+16-4\cdot \left(m^2-3m-2m+6\right)=$  

$=m^2-8m+16-4m^2+20m-24=-3m^2+12m-8$  

Zatem:

$-3m^2+12m-8>0$  

${\Delta }_m={12}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-8\right)=144-96=48,{\sqrt{\Delta }}_m=4\sqrt{3}$  

$m_1=\frac{-12-4\sqrt{3}}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$  

$m_2=\frac{-12+4\sqrt{3}}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$  

Więc:

$m\in \left(\frac{6-2\sqrt{3}}{3};2\right)\cup \left(2;\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\right)$  

---

Wiemy, że:

$\frac{1}{2}{x}_1=\frac{1}{x_2}$  

Wyznaczmy wartość parametru  $m$   korzystając ze wzorów Viete'a:

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x}_1=\frac{1}{x_2}\\ x_1\cdot x_2=\frac{m-3}{m-2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=2\\ 2=\frac{m-3}{m-2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=2\\ 2\left(m-2\right)=m-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=2\\ 2m-4=m-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_2=2\\ m=1\end{array}$  

 

Odp.: Wartość parametru m wynosi 1.