Wiemy, że:

$x,y\in \mathbb{R}$  

Przekształćmy nierówność:

$x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)\ge xy-1$        

$x^2-x+y^2-y-xy+1\ge 0\mid \cdot 2$     

$2x^2-2x+2y^2-2y-2xy+2\ge 0$  

$x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1\ge 0$  

${\left(x-y\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych także jest liczbą nieujemną, zatem podana nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x i y.

c.n.u.