Mamy daną równość:

$\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$  

zatem:   

$a\text{)}\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}=$  

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$  

---

$b\text{)}\frac{1}{10\cdot 11}+\frac{1}{11\cdot 12}+\frac{1}{12\cdot 13}+\dots +\frac{1}{99\cdot 100}=$  

$=\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\dots +\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{10}-\frac{1}{100}=$  

$=\frac{10}{100}-\frac{1}{100}=\frac{9}{100}$