Wyznaczmy wszystkie liczby całkowite...- Zadanie 22: Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Rozwiązanie

$a) \frac{n - 1}{n + 2} = \frac{n + 2 - 3}{n + 2} = 1 - \frac{3}{n + 2}$

Liczba $1 - \frac{3}{n + 2}$ jest całkowita wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $- \frac{3}{n + 2}$ jest całkowita.

Liczba $- \frac{3}{n + 2}$ jest całkowita wtedy i tylko wtedy gdy liczba $n + 2$ jest dzielnikiem liczby $- 3$

Zatem:

$n + 2 = - 3$ lub $n + 2 = 3$ lub $n + 2 = 1$ lub $n + 2 = - 1$

$n = - 5$ lub $n = 1$ lub $n = - 1$ lub $n = - 3$

Ostatecznie liczba $\frac{n - 1}{n + 2}$ jest całkowita wtedy i tylko wtedy gdy $n \in {- 5, - 3, - 1, 1}$

$b) \frac{2 n + 7}{n - 1} = \frac{2 n - 2 + 9}{n - 1} = \frac{2 ( n - 1 ) + 9}{n - 1} = 2 + \frac{9}{n - 1}$

Liczba $2 + \frac{9}{n - 1}$ jest całkowita wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $\frac{9}{n - 1}$ jest całkowita.

Liczba $\frac{9}{n - 1}$ jest całkowita wtedy i tylko wtedy gdy liczba $n - 1$ jest dzielnikiem liczby $9$

Zatem:

$n - 1 = - 3$ lub $n - 1 = 3$ lub $n - 1 = 1$ lub $n - 1 = - 1$ lub $n - 1 = 9$ lub $n - 1 = - 9$

$n = - 2$ lub $n = 4$ lub $n = 2$ lub $n = 0$ lub $n = 10$ lub $n = - 8$

Ostatecznie liczba $\frac{2 n + 7}{n - 1}$ jest całkowita wtedy i tylko wtedy gdy $n \in {- 8, - 2, 0, 2, 4, 10}$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Liczby naturalne i całkowite

Premium

17:09

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Liczby niewymierne. Liczby rzeczywiste.

Premium

13:42

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Liczby wymierne

13:17

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.