Ciąg (an) dany jest wzorem...- Zadanie 755: Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Rozwiązanie

Ciąg (a_n) dany jest wzorem:

$a_{n} = sin (\frac{π}{2} + n π)$

Mamy obliczyć sumę:

$a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 50 a_{50}$

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów ciągu (a_n):

$a_{1} = sin (\frac{π}{2} + π) = sin \frac{3 π}{2}$

$a_{2} = sin (\frac{π}{2} + 2 π) = sin \frac{π}{2}$

$a_{3} = sin (\frac{π}{2} + 3 π) = sin (\frac{π}{2} + π + 2 π) = sin \frac{3 π}{2}$

$a_{4} = sin (\frac{π}{2} + 4 π) = sin \frac{π}{2}$

$a_{5} = sin (\frac{π}{2} + 5 π) = sin (\frac{π}{2} + π + 4 π) = sin \frac{3 π}{2}$

$a_{6} = sin (\frac{π}{2} + 6 π) = sin \frac{π}{2}$

$a_{7} = sin (\frac{π}{2} + 7 π) = sin (\frac{π}{2} + π + 6 π) = sin \frac{3 π}{2}$

$a_{8} = sin (\frac{π}{2} + 8 π) = sin \frac{π}{2}$

$\dots$

Łatwo możemy, zauważyć, że:

$a_{n} = {sin \frac{3 π}{2} dla n = 2 k - 1, k \in N_{+} sin \frac{π}{2} dla n = 2 k, k \in N_{+}$

Zatem:

$a_{n} = {- 1 dla n = 2 k - 1, k \in N_{+} 1 dla n = 2 k, k \in N_{+}$

Obliczmy wartość podanej sumy:

$a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 50 a_{50} =$

$= - 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (- 1) + \dots + 50 \cdot 1 =$

$= - 1 + 3 \cdot (- 1) + \dots + 49 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 + \dots + 50 \cdot 1 =$

$= - 1 \cdot (1 + 3 + \dots + 49) + 1 \cdot (2 + 4 + \dots + 50) =$

$= - 1 \cdot \frac{1 + 49}{2} \cdot 25 + \frac{2 + 50}{2} \cdot 25 = - 1 \cdot \frac{50}{2} \cdot 25 + 26 \cdot 25 =$

$= - 25 \cdot 25 + 26 \cdot 25 = 25 \cdot (- 25 + 26) = 25 \cdot 1 = 25$

Odp.: Wartość podanej sumy wynosi 25.

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Premium

12:06

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego

Premium

13:04

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Premium

12:20

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.