Ciąg (a_n) dany jest wzorem:

$a_n=\sin \left(\frac{\pi }{2}+n\pi \right)$  

 

Mamy obliczyć sumę:

$a_1+2a_2+3a_3+\dots +50a_{50}$  

 

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów ciągu (a_n):

$a_1=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=\sin \frac{3\pi }{2}$  

$a_2=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}$  

$a_3=\sin \left(\frac{\pi }{2}+3\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi +2\pi \right)=\sin \frac{3\pi }{2}$  

$a_4=\sin \left(\frac{\pi }{2}+4\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}$  

$a_5=\sin \left(\frac{\pi }{2}+5\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi +4\pi \right)=\sin \frac{3\pi }{2}$  

$a_6=\sin \left(\frac{\pi }{2}+6\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}$  

$a_7=\sin \left(\frac{\pi }{2}+7\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi +6\pi \right)=\sin \frac{3\pi }{2}$  

$a_8=\sin \left(\frac{\pi }{2}+8\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}$  

$\dots$  

 

Łatwo możemy, zauważyć, że:

$a_n=\{\begin{array}{l}\sin \frac{3\pi }{2}\text{dla}n=2k-1\text{,}k\in {\mathbb{N}}_{+}\\ \sin \frac{\pi }{2}\text{dla}n=2k\text{,}k\in {\mathbb{N}}_{+}\end{array}$  

Zatem:

$a_n=\{\begin{array}{l}-1\text{dla}n=2k-1\text{,}k\in {\mathbb{N}}_{+}\\ 1\text{dla}n=2k\text{,}k\in {\mathbb{N}}_{+}\end{array}$  

 

Obliczmy wartość podanej sumy:

$a_1+2a_2+3a_3+\dots +50a_{50}=$  

$=-1+2\cdot 1+3\cdot \left(-1\right)+\dots +50\cdot 1=$  

$=-1+3\cdot \left(-1\right)+\dots +49\cdot \left(-1\right)+2\cdot 1+\dots +50\cdot 1=$  

$=-1\cdot \left(1+3+\dots +49\right)+1\cdot \left(2+4+\dots +50\right)=$  

$=-1\cdot \frac{1+49}{2}\cdot 25+\frac{2+50}{2}\cdot 25=-1\cdot \frac{50}{2}\cdot 25+26\cdot 25=$  

$=-25\cdot 25+26\cdot 25=25\cdot \left(-25+26\right)=25\cdot 1=25$  

 

Odp.: Wartość podanej sumy wynosi 25.