Dany jest ciąg:

$\frac{1}{6}\sin \alpha ,\cos \alpha ,\mathrm{tg}\alpha$  

Mamy zbadać dla jakich wartości 𝛼 podany ciąg jest geometryczny, czyli spełniony jest warunek:

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{6}\sin \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha \mid \cdot 6$  

$6{\cos }^2\alpha =\sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\mid \cdot \cos \alpha$  

$6{\cos }^3\alpha ={\sin }^2\alpha$  

$6{\cos }^3\alpha =1-{\cos }^2\alpha$  

$6{\cos }^3\alpha +{\cos }^2\alpha -1=0$  

 

Stosujemy podstawienie:

$\cos \alpha =t$  

Stąd:

$6t^3+t^2-1=0$  

Zauważmy, że:

$6t^3+t^2-1=6t^3\underset{t^2}{\underbrace{-3t^2+4t^2}}\underset{0}{\underbrace{-2t+2t}}-1$  

Zatem:

$6t^3-3t^2+4t^2-2t+2t-1=0$  

$3t^2\left(2t-1\right)+2t\left(2t-1\right)+2t-1=0$  

$\left(2t-1\right)\left(3t^2+2t+1\right)=0$  

$2t-1=0\vee 3t^2+2t+1=0$  

$t=\frac{1}{2}\vee 3t^2+2t+1=0$  

 

Sprawdźmy czy trójmian 3t²+2t+1=0 jest rozkładalny:

$\Delta =2^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12=-8<0$  

Ten trójmian jest nierozkładalny, zatem równanie:

$6t^3+t^2-1=0$  

ma tylko jedno rozwiązanie:

$t=\frac{1}{2}$  

Czyli:

$\cos \alpha =\frac{1}{2}$  

więc:

$\alpha =\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{C}\vee \alpha =-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{C}$