Wiemy, że pole kwadratu DEFG jest równe 4, więc bok tego kwadratu ma długość

$a^2=4\text{i}a>0$

$a=2$   

---

Zauważmy, że trójkąt DAE jest trójkątem prostokątnym o kątach 30°, 60° i 90°. 

Wiemy, że |DE| = 2, korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30°, 60° i 90° dostajemy

$\left|AD\right|=2\cdot \left|DE\right|=2\cdot 2=4$  

---

Kąty ADE, EDG i CDG są przyległe więc

$\left|\sphericalangle CDG\right|={180}^{\circ }-\left({60}^{\circ }+{90}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{150}^{\circ }={30}^{\circ }$

więc trójkąt CDG jest trójkątem prostokątnym o kątach 30°, 60° i 90°. 

Wiemy, że |GD| = 2, korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30°, 60° i 90° dostajemy

$\left|CD\right|=\frac{\left|GD\right|\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$  

$\left|CG\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|GD\right|=\frac{1}{2}\cdot 2=1$  

---

Rozważmy trójkąt ABC.

Korzystając z faktu, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, mamy 

$\left|\sphericalangle CBA\right|={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{120}^{\circ }={60}^{\circ }$

Skąd otrzymujemy, że trójkąt BGF jest trójkątem prostokątnym o kątach 30°, 60° i 90°. 

Wiemy, że |GF| = 2, korzystając z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30°, 60° i 90° dostajemy

$\left|BG\right|=\frac{2\cdot \left|GF\right|}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

---

Zatem mamy 

$\left|AC\right|=\left|AD\right|+\left|CD\right|=4+\sqrt{3}$

$\left|BC\right|=\left|CG\right|+\left|BG\right|=1+\frac{4\sqrt{3}}{3}$  

---

Obliczamy pole trójkąta ACB:

$P_{ACB}=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|BC\right|=\frac{1}{2}\cdot \left(4+\sqrt{3}\right)\cdot \left(1+\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=$    

$=\frac{1}{2}\cdot \left(4+\frac{16\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}+4\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(8+\sqrt{3}+\frac{16\sqrt{3}}{3}\right)=$

$=4+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{16\sqrt{3}}{6}=4+\frac{3\sqrt{3}}{6}+\frac{16\sqrt{3}}{6}=4+\frac{19\sqrt{3}}{6}$   

 

Odp.    $P_{ACB}=4+\frac{19\sqrt{3}}{6}$