Zakładamy, że 

$\alpha >0$

Przekształcając nierówność

$\frac{a^2+1}{a+1}\ge \frac{a+1}{2}$  

otrzymamy

$\frac{a^2+1}{a+1}\ge \frac{a+1}{2}\mid \cdot 2\cdot \left(a+1\right)$  

$2\left(a^2+1\right)\ge \left(a+1\right)\left(a+1\right)$   

$2a^2+2\ge a^2+a+a+1$

$2a^2+2\ge a^2+2a+1$

$a^2-2a+1\ge 0$

Zauważmy, że lewą stronę nierówności możemy "zwinąć" korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. 

Otrzymamy

${\left(a-1\right)}^2\ge 0$

kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc powyższa nierówność jest prawdziwa. 

Przekształcenia, których dokonaliśmy były równoważnościami, więc wyjściowa nierówność również musiała być prawdziwa. 

 

c.n.d.