Przypomnijmy, że dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty równej miary. 

Wiemy, że BD jest dwusieczną kąta ABC więc

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle DBC\right|=\alpha$

więc

$\left|\sphericalangle ABC\right|=2\alpha$  

Jeśli zachodzi 

$\left|AD\right|=\left|BD\right|$  

to trójkąt ADB jest równoramienny, czyli

$\left|\sphericalangle DAB\right|=\left|\sphericalangle ABD\right|=\alpha$

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC.

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy

$\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle ABC\right|+\left|\sphericalangle BCA\right|={180}^{\circ }$  

$\alpha +2\alpha +{90}^{\circ }={180}^{\circ }$

$3\alpha ={90}^{\circ }$

$\alpha ={30}^{\circ }$  

Rozważmy trójkąt prostokątny DCB. 

Korzystając z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dostajemy, że

$\sin \left(\sphericalangle DBC\right)=\frac{\left|CD\right|}{\left|BD\right|}$  

$\sin {30}^{\circ }=\frac{\left|CD\right|}{\left|BD\right|}$  

$\frac{1}{2}=\frac{\left|CD\right|}{\left|BD\right|}$

skąd otrzymujemy

$\left|CD\right|=\frac{1}{2}\cdot \left|BD\right|$  

 

c.n.d.