Treść: 

Paweł wyciął z kartonu trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych 12 cm i 16 cm (rysunek I). Następnie połączył środki dłuższej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej linią przerywaną równoległą do krótszej przyprostokątnej, a potem rozciął trójkąt ABC wzdłuż tej linii na dwie figury. Z tych figur złożył trapez PRST (rysunek II). 

Oblicz różnicę obwodów trójkąta ABC i trapezu PRST. Zapisz obliczenia. 

---

Rozwiązanie: 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

$\left|AB\right|=12\text{cm}$

$\left|AC\right|=16\text{cm}$   

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość boku BC. 

${12}^2+{16}^2={\left|BC\right|}^2$  

$144+256={\left|BC\right|}^2$

$400={\left|BC\right|}^2$

$\left|BC\right|=\sqrt{400}$

$\left|BC\right|=20\left[\text{cm}\right]$      

Punkt D jest środkiem boku AC, czyli: 

$\left|AD\right|=\left|DC\right|=16\text{cm}:2=8\text{cm}$  

Punkt E jest środkiem boku BC, czyli: 

$\left|BE\right|=\left|EC\right|=20\text{cm}:2=10\text{cm}$  

Korzystając teraz z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CDE obliczamy ile wynosi długość boku DE. 

${\left|DE\right|}^2+8^2={10}^2$

${\left|DE\right|}^2+64=100\mid -64$

${\left|DE\right|}^2=36$

$\left|DE\right|=\sqrt{36}$

$\left|DE\right|=6\left[\text{cm}\right]$      

Obliczamy ile wynosi obwód trójkąta ABC. 

$Ob{w}_{ABC}=12\text{cm}+16\text{cm}+20\text{cm}=48\text{cm}$  

Obliczamy ile wynosi obwód trapezu PRST. 

$\left|PT\right|=\left|CE\right|=10\text{cm}$

$\left|PU\right|=\left|DE\right|=6\text{cm}$

$\left|UR\right|=\left|AB\right|=12\text{cm}$

$\left|RS\right|=\left|BE\right|=10\text{cm}$

$\left|TS\right|=\left|DE\right|=6\text{cm}$      

$Ob{w}_{PRST}=12\text{cm}+2\cdot 10\text{cm}+2\cdot 6\text{cm}=12\text{cm}+20\text{cm}+12\text{cm}=44\text{cm}$   

Obliczamy ile wynosi różnica obwodów trójkąta ABC i trapezu PRST. 

$48\text{cm}-44\text{cm}=4\text{cm}$  

---

Odpowiedź:

Różnica obwodów wynosi 4 cm.