POZIOM A

---

a)

Rozwiązujemy równanie:

$\underline{4\cdot x}-3\underline{+5\cdot x}=15$

$9\cdot x-3=15\mid +3$

$9\cdot x-3+3=15+3$

$9\cdot x=18\mid :9$

$\frac{9\cdot x}{9}=\frac{18}{9}$

$\boxed{x=2}$

Sprawdzenie:

$L=4\cdot 2-3+5\cdot 2=8-3+10=15$

$P=15$

$L=P$

---

b)

Rozwiązujemy równanie:

$\underline{5\cdot x}+7\underline{-3\cdot x}=13$

$2\cdot x+7=13\mid -7$

$2\cdot x+7-7=13-7$

$2\cdot x=6\mid :2$

$\frac{2\cdot x}{2}=\frac{6}{2}$

$\boxed{x=3}$

Sprawdzenie:

$L=5\cdot 3+7-3\cdot 3=15+7-9=13$

$P=13$

$L=P$

---

c)

Rozwiązujemy równanie:

$\underline{7\cdot x}-2\underline{-6\cdot x}=5$

$x-2=5\mid +2$

$x-2+2=5+2$

$\boxed{x=7}$

Sprawdzenie:

$L=7\cdot 7-2-6\cdot 7=49-2-42=5$

$P=5$

$L=P$

---

d)

Rozwiązujemy równanie:

$\underline{6\cdot x}-4\underline{+4\cdot x}=56$

$10\cdot x-4=56\mid +4$

$10\cdot x-4+4=56+4$

$10\cdot x=60\mid :10$

$\frac{10\cdot x}{10}=\frac{60}{10}$

$\boxed{x=6}$

Sprawdzenie:

$L=6\cdot 6-4+4\cdot 6=36-4+24=56$

$P=56$

$L=P$

---

e)

Rozwiązujemy równanie:

$\underline{2\cdot x}-3\underline{+x}=9$

$3\cdot x-3=9\mid +3$

$3\cdot x-3+3=9+3$

$3\cdot x=12\mid :3$

$\frac{3\cdot x}{3}=\frac{12}{3}$

$\boxed{x=4}$

Sprawdzenie:

$L=2\cdot 4-3+4=8-3+4=9$

$P=9$

$L=P$

---

f)

Rozwiązujemy równanie:

$\underline{3\cdot x}-5\underline{-x}=11$

$2\cdot x-5=11\mid +5$

$2\cdot x-5+5=11+5$

$2\cdot x=16\mid :2$

$\frac{2\cdot x}{2}=\frac{16}{2}$

$\boxed{x=8}$

Sprawdzenie:

$L=3\cdot 8-5-8=24-5-8=11$

$P=11$

$L=P$

---

g)

Rozwiązujemy równanie:

$\underline{x}-5\underline{+6\cdot x}=16$

$7\cdot x-5=16\mid +5$

$7\cdot x-5+5=16+5$

$7\cdot x=21\mid :7$

$\frac{7\cdot x}{7}=\frac{21}{7}$

$\boxed{x=3}$

Sprawdzenie:

$L=3-5+6\cdot 3=3-5+18=16$

$P=16$

$L=P$

---

h)

Rozwiązujemy równanie:

$\underline{3\cdot x}-4\underline{-2\cdot x}=16$

$x-4=16\mid +4$

$x-4+4=16+4$

$\boxed{x=20}$

Sprawdzenie:

$L=3\cdot 20-4-2\cdot 20=60-4-40=16$

$P=16$

$L=P$

---

---

POZIOM B

---

a)

Rozwiązujemy równanie:

$6\cdot x=2\cdot x-8\mid -2\cdot x$

$6\cdot x-2\cdot x=2\cdot x-8-2\cdot x$

$4\cdot x=-8\mid :4$

$\frac{4\cdot x}{4}=-\frac{8}{4}$

$\boxed{x=-2}$ 

Sprawdzenie:

$L=6\cdot \left(-2\right)=-12$

$P=2\cdot \left(-2\right)-8=-4-8=-12$

$L=P$

---

b)

Rozwiązujemy równanie:

$8\cdot x=9+5\cdot x\mid -5\cdot x$

$8\cdot x-5\cdot x=9+5\cdot x-5\cdot x$

$3\cdot x=9\mid :3$

$\frac{3\cdot x}{3}=\frac{9}{3}$

$\boxed{x=3}$

Sprawdzenie:

$L=8\cdot 3=24$

$P=9+5\cdot 3=9+15=24$

$L=P$

---

c)

Rozwiązujemy równanie:

$7\cdot x=2\cdot x-20\mid -2\cdot x$

$7\cdot x-2\cdot x=2\cdot x-20-2\cdot x$

$5\cdot x=-20\mid :5$

$\frac{5\cdot x}{5}=\frac{-20}{5}$

$\boxed{x=-4}$

Sprawdzenie:

$L=7\cdot \left(-4\right)=-28$

$P=2\cdot \left(-4\right)-20=-8-20=-28$

$L=P$

---

d)

Rozwiązujemy równanie:

$2\cdot x=12-2\cdot x\mid +2\cdot x$

$2\cdot x+2\cdot x=12-2\cdot x+2\cdot x$

$4\cdot x=12\mid :4$

$\frac{4\cdot x}{4}=\frac{12}{4}$

$\boxed{x=3}$

Sprawdzenie:

$L=2\cdot 3=6$

$P=12-2\cdot 3=12-6=6$

$L=P$

---

e)

Rozwiązujemy równanie:

$9\cdot x=3\cdot x+12\mid -3\cdot x$

$9\cdot x-3\cdot x=3\cdot x+12-3\cdot x$

$6\cdot x=12\mid :6$

$\frac{6\cdot x}{6}=\frac{12}{6}$

$\boxed{x=2}$

Sprawdzenie:

$L=9\cdot 2=18$

$P=3\cdot 2+12=6+12=18$

$L=P$

---

f)

Rozwiązujemy równanie:

$10\cdot x=4\cdot x-6\mid -4\cdot x$

$10\cdot x-4\cdot x=4\cdot x-6-4\cdot x$

$6\cdot x=-6\mid :6$

$\frac{6\cdot x}{6}=\frac{-6}{6}$

$\boxed{x=-1}$

Sprawdzenie:

$L=10\cdot \left(-1\right)=-10$

$P=4\cdot \left(-1\right)-6=-4-6=-10$

$L=P$

---

g)

Rozwiązujemy równanie:

$3\cdot x=9-6\cdot x\mid +6\cdot x$

$3\cdot x+6\cdot x=9-6\cdot x+6\cdot x$

$9\cdot x=9\mid :9$

$\frac{9\cdot x}{9}=\frac{9}{9}$

$\boxed{x=1}$

Sprawdzenie:

$L=3\cdot 1=3$

$P=9-6\cdot 1=9-6=3$

$L=P$

---

h)

Rozwiązujemy równanie:

$5\cdot x=4\cdot x+4\mid -4\cdot x$

$5\cdot x-4\cdot x=4\cdot x+4-4\cdot x$

$\boxed{x=4}$

Sprawdzenie:

$L=5\cdot 4=20$

$P=4\cdot 4+4=16+4=20$

$L=P$

---

---

POZIOM C

---

a)

Rozwiązujemy równanie:

$8-3\cdot x=6\cdot x-10\mid -6\cdot x$

$8-3\cdot x-6\cdot x=6\cdot x-10-6\cdot x$

$8-9\cdot x=-10\mid -8$

$8-9\cdot x-8=-10-8$

$-9\cdot x=-18\mid :\left(-9\right)$

$\frac{-9\cdot x}{-9}=\frac{-18}{-9}$

$\boxed{x=2}$

Sprawdzenie:

$L=8-3\cdot 2=8-6=2$

$P=6\cdot 2-10=12-10=2$

$L=P$

---

b)

Rozwiązujemy równanie:

$7\cdot x-4=9+8\cdot x\mid -8\cdot x$

$7\cdot x-4-8\cdot x=9+8\cdot x-8\cdot x$

$-x-4=9\mid +4$

$-x-4+4=9+4$

$-x=13\mid :\left(-1\right)$

$\frac{-x}{-1}=\frac{13}{-1}$

$\boxed{x=-13}$

Sprawdzenie:

$L=7\cdot \left(-13\right)-4=-91-4=-95$

$P=9+8\cdot \left(-13\right)=9-104=-95$

$L=P$

---

c)

Rozwiązujemy równanie:

$-5+7\cdot x=2\cdot x-20\mid -2\cdot x$

$-5+7\cdot x-2\cdot x=2\cdot x-20-2\cdot x$

$-5+5\cdot x=-20\mid +5$

$-5+5\cdot x+5=-20+5$

$5\cdot x=-15\mid :5$

$\frac{5\cdot x}{5}=\frac{-15}{5}$

$\boxed{x=-3}$

Sprawdzenie:

$L=-5+7\cdot \left(-3\right)=-5-21=-26$

$P=2\cdot \left(-3\right)-20=-6-20=-26$

$L=P$

---

d)

Rozwiązujemy równanie:

$8-2\cdot x=-4+2\cdot x\mid -2\cdot x$

$8-2\cdot x-2\cdot x=-4+2\cdot x-2\cdot x$

$8-4\cdot x=-4\mid -8$

$8-4\cdot x-8=-4-8$

$-4\cdot x=-12\mid :\left(-4\right)$

$\frac{-4\cdot x}{-4}=\frac{-12}{-4}$

$\boxed{x=3}$

Sprawdzenie:

$L=8-2\cdot 3=8-6=2$

$P=-4+2\cdot 3=-4+6=2$

$L=P$

---

e)

Rozwiązujemy równanie:

$9\cdot x-7=3\cdot x+5\mid -3\cdot x$

$9\cdot x-7-3\cdot x=3\cdot x+5-3\cdot x$

$6\cdot x-7=5\mid +7$

$6\cdot x-7+7=5+7$

$6\cdot x=12\mid :6$

$\frac{6\cdot x}{6}=\frac{12}{6}$

$\boxed{x=2}$

Sprawdzenie:

$L=9\cdot 2-7=18-7=11$

$P=3\cdot 2+5=6+5=11$

$L=P$

---

f)

Rozwiązujemy równanie:

$3-10\cdot x=9-4\cdot x\mid +4\cdot x$

$3-10\cdot x+4\cdot x=9-4\cdot x+4\cdot x$

$3-6\cdot x=9\mid -3$

$3-6\cdot x-3=9-3$

$-6\cdot x=6\mid :\left(-6\right)$

$\frac{-6\cdot x}{-6}=\frac{6}{-6}$

$\boxed{x=-1}$ 

Sprawdzenie:

$L=3-10\cdot \left(-1\right)=3+10=13$

$P=9-4\cdot \left(-1\right)=9+4=13$

$L=P$

---

g)

Rozwiązujemy równanie:

$5-2\cdot x=9-6\cdot x\mid +6\cdot x$

$5-2\cdot x+6\cdot x=9-6\cdot x+6\cdot x$

$5+4\cdot x=9\mid -5$

$5+4\cdot x-5=9-5$

$4\cdot x=4\mid :4$

$\frac{4\cdot x}{4}=\frac{4}{4}$

$\boxed{x=1}$

Sprawdzenie:

$L=5-2\cdot 1=5-2=3$

$P=9-6\cdot 1=9-6=3$

$L=P$

---

h)

Rozwiązujemy równanie:

$-6+4\cdot x=5\cdot x+4\mid -5\cdot x$

$-6+4\cdot x-5\cdot x=5\cdot x+4-5\cdot x$

$-6-x=4\mid +6$

$-6-x+6=4+6$

$-x=10\mid :\left(-1\right)$

$\frac{-x}{-1}=\frac{10}{-1}$

$\boxed{x=-10}$

Sprawdzenie:

$L=-6+4\cdot \left(-10\right)=-6-40=-46$

$P=5\cdot \left(-10\right)+4=-50+4=-46$

$L=P$

---

---

POZIOM D

---

a)

Rozwiązujemy równanie:

$5\cdot x-3+2\cdot x=4\cdot x+9$

$7\cdot x-3=4\cdot x+9\mid -4\cdot x$

$7\cdot x-3-4\cdot x=4\cdot x+9-4\cdot x$

$3\cdot x-3=9\mid +3$

$3\cdot x-3+3=9+3$

$3\cdot x=12\mid :3$

$\frac{3\cdot x}{3}=\frac{12}{3}$

$\boxed{x=4}$

Sprawdzenie:

$L=5\cdot 4-3+2\cdot 4=20-3+8=25$

$P=4\cdot 4+9=16+9=25$

$L=P$

---

b)

Rozwiązujemy równanie:

$8\cdot x-6-9\cdot x=5\cdot x-6$

$-x-6=5\cdot x-6\mid -5\cdot x$

$-x-6-5\cdot x=5\cdot x-6-5\cdot x$

$-6\cdot x-6=-6\mid +6$

$-6\cdot x-6+6=-6+6$

$-6\cdot x=0|:\left(-6\right)$

$\boxed{x=0}$

Sprawdzenie:

$L=8\cdot 0-6-9\cdot 0=0-6-0=-6$

$P=5\cdot 0-6=0-6=-6$

$L=P$

---

c)

Rozwiązujemy równanie:

$2+4\cdot x-1+2\cdot x=-8+4\cdot x-7$

$6\cdot x+1=4\cdot x-15\mid -4\cdot x$

$6\cdot x+1-4\cdot x=4\cdot x-15-4\cdot x$

$2\cdot x+1=-15\mid -1$

$2\cdot x+1-1=-15-1$

$2\cdot x=-16\mid :2$

$\frac{2\cdot x}{2}=\frac{-16}{2}$

$\boxed{x=-8}$

Sprawdzenie:

$L=2+4\cdot \left(-8\right)-1+2\cdot \left(-8\right)=2-32-1-16=-47$

$P=-8+4\cdot \left(-8\right)-7=-8-32-7=-47$

$L=P$

---

d)

Rozwiązujemy równanie:

$-3+7\cdot x-2=3\cdot x-11+6\cdot x$  

$-5+7\cdot x=9\cdot x-11\mid -9\cdot x$

$-5+7\cdot x-9\cdot x=9\cdot x-11-9\cdot x$

$-5-2\cdot x=-11\mid +5$

$-5-2\cdot x+5=-11+5$

$-2\cdot x=-6\mid :\left(-2\right)$

$\frac{-2\cdot x}{-2}=\frac{-6}{-2}$

$\boxed{x=3}$

Sprawdzenie:

$L=-3+7\cdot 3-2=-3+21-2=16$

$P=3\cdot 3-11+6\cdot 3=9-11+18=16$

$L=P$

---

e)

Rozwiązujemy równanie:

$4+5\cdot x-2=7\cdot x-7$

$2+5\cdot x=7\cdot x-7\mid -7\cdot x$

$2+5\cdot x-7\cdot x=7\cdot x-7-7\cdot x$

$2-2\cdot x=-7\mid -2$

$2-2\cdot x-2=-7-2$

$-2\cdot x=-9\mid :\left(-2\right)$

$\frac{-2\cdot x}{-2}=\frac{-9}{-2}$

$x=\frac{9}{2}$

$\boxed{x=4,5}$

Sprawdzenie:

$L=4+5\cdot 4,5-2=4+22,5-2=24,5$

$P=7\cdot 4,5-7=31,5-7=24,5$

$L=P$

---

f)

Rozwiązujemy równanie:

$-8+7\cdot x+3=5\cdot x+4+4\cdot x+5$

$-5+7\cdot x=9\cdot x+9\mid -9\cdot x$

$-5+7\cdot x-9\cdot x=9\cdot x+9-9\cdot x$

$-5-2\cdot x=9\mid +5$

$-5-2\cdot x+5=9+5$

$-2\cdot x=14\mid :\left(-2\right)$

$\frac{-2\cdot x}{-2}=\frac{14}{-2}$

$\boxed{x=-7}$

Sprawdzenie:

$L=-8+7\cdot \left(-7\right)+3=-8-49+3=-54$

$P=5\cdot \left(-7\right)+4+4\cdot \left(-7\right)+5=-35+4-28+5=-54$

$L=P$

---

---

MISTRZ

---

a)

Rozwiązujemy równanie:

$5\cdot x+3-x=14$

$4\cdot x+3=14\mid -3$

$4\cdot x+3-3=14-3$

$4\cdot x=11\mid :4$

$x=\frac{11}{4}$

$x=2\frac{3}{4}$

$\boxed{x=2,75}$

Sprawdzenie:

$L=5\cdot 2,75+3-2,75=13,75+3-2,75=14$

$P=14$

$L=P$

---

b)

Rozwiązujemy równanie:

$3\cdot x-7+5\cdot x=2+10\cdot x$

$8\cdot x-7=2+10\cdot x\mid -10\cdot x$

$8\cdot x-7-10\cdot x=2+10\cdot x-10\cdot x$

$-2\cdot x-7=2\mid +7$

$-2\cdot x-7+7=2+7$

$-2\cdot x=9\mid :\left(-2\right)$

$\frac{-2\cdot x}{-2}=\frac{9}{-2}$

$\boxed{x=-4,5}$

Sprawdzenie:

$L=3\cdot \left(-4,5\right)-7+5\cdot \left(-4,5\right)=-13,5-7-22,5=-43$

$P=2+10\cdot \left(-4,5\right)=2-45=-43$

$L=P$

---

c)

Rozwiązujemy równanie:

$x+2\cdot x+3\cdot x+\dots +15\cdot x-3=9\mid +3$  

$x+2\cdot x+3\cdot x+\dots +15\cdot x-3+3=9+3$  

$x+2\cdot x+3\cdot x+\dots .+15\cdot x=12$  

Zauważmy, że:

$1+2+3+4+\cdots +14+15=120$

*Obliczamy to dodając po kolei wszystkie liczby naturalne od $1$ do $15$ albo możemy zauważyć, że łącząc w pary początkowe liczby z końcowymi liczbami tej sumy otrzymamy $7$ par, których suma jest równa $16$ i bez pary zostanie nam $8$:

$1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,$

$5+11=16,6+10=16,7+9=16,8$

Suma liczb naturalnych od $1$ do $15$ jest więc równa:

$1+2+3+\cdots +15=7\cdot 16+8=112+8=120$

Zatem:

$120\cdot x=12\mid :120$

$\frac{120\cdot x}{120}=\frac{12}{120}$

$x=\frac{1}{10}$

$\boxed{x=0,1}$

Sprawdzenie:

$L=0,1+2\cdot 0,1+3\cdot 0,1+\cdots +15\cdot 0,1-3=$

$=0,1+0,2+0,3+\cdots +0,15-3=12-3=9$

$P=9$

$L=P$