$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+bx-3$  

Wykres funkcji f jest symetryczny względem prostej x = 1. 

Oznacza to, że pierwsza współrzędna wierzchołka tej funkcji wynosi 1. 

$x_w=1$  

Mamy więc: 

$1=-\frac{b}{{\sout{2}}^1\cdot \frac{1}{{\sout{4}}^2}}$  

$1=-\frac{b}{\frac{1}{2}}$  

$1=-b\cdot 2\mid :2$  

$\frac{1}{2}=-b\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\mathbf{b}=-\frac{1}{2}$  

Wzór funkcji f ma więc postać: 

$f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x-3$  

Zauważmy, że  $a=\frac{1}{4}>0$  . Ramiona funkcji są więc skierowane w górę. 

Najmniejszą wartość funkcja przyjmuje więc w wierzchołku, czyli dla x = 1. 

Mamy więc: 

$f\left(1\right)=\frac{1}{4}\cdot 1^2-\frac{1}{2}\cdot 1-3=\frac{1}{4}\cdot 1-\frac{1}{2}-3=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-3=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}-3=-\frac{1}{4}-3=-3\frac{1}{4}$  

Zatem: 

${\mathbf{f}}_{\text{min}}=-3\frac{1}{4}$