Rozważmy przypadki, gdy liczba n przy dzieleniu przez 13, daje wszystkie możliwe reszty : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,

czyli gdy jest postaci: 13k, (13k+1), (13k+2),...,(13k+11),(13k+12), gdzie  $k\in \mathbb{N}$  

zapiszmy te przypadki w poniższej tabelce

$n$	$n^2+1$
$13k$	${\left(13k\right)}^2+1=169k^2+1=13\left(13k^2\right)+1$
$13k+1$	${\left(13k+1\right)}^2+1=169k^2+26k+2=13\left(13k^2+2k\right)+2$
$13k+2$	${\left(13k+2\right)}^2+1=169k^2+52k+5=13\left(13k^2+4k\right)+5$
$13k+3$	${\left(13k+3\right)}^2+1=169k^2+78k+10=13\left(13k^2+6k\right)+10$
$13k+4$	${\left(13k+4\right)}^2+1=169k^2+104k+17=13\left(13k^2+8k+1\right)+4$
$13k+5$	${\left(13k+5\right)}^2+1=169k^2+130k+26=13\left(13k^2+10k+2\right)$
$13k+6$	${\left(13k+6\right)}^2+1=169k^2+156k+37=13\left(13k^2+12k+2\right)+11$
$13k+7$	${\left(13k+7\right)}^2+1=169k^2+182k+50=13\left(13k^2+14k+2\right)+11$
$13k+8$	${\left(13k+8\right)}^2+1=169k^2+208k+65=13\left(13k^2+16k+5\right)$
$13k+9$	${\left(13k+9\right)}^2+1=169k^2+234k+82=13\left(13k^2+18k+6\right)+4$
$13k+10$	${\left(13k+10\right)}^2+1=169k^2+260k+101=13\left(13k^2+20k+7\right)+10$
$13k+11$	${\left(13k+11\right)}^2+1=169k^2+286k+122=13\left(13k^2+22k+9\right)+5$
$13k+12$	${\left(13k+12\right)}^2+1=169k^2+312k+145=13\left(13k^2+24k+11\right)+2$

 

Zauważmy, że tylko w dwóch przypadkach 

$n=13k+5,n=13k+8$

liczba 

$n^2+1$

jest podzielna przez 13. 

 

Zatem wszystkie liczby naturalne postaci

$13k+5,k\in \mathbb{N}$  

i wszystkie liczby naturalne postaci

$13k+8,k\in \mathbb{N}$  

będą spełniały warunki zadania. 

Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, więc liczb, które w ten sposób otrzymamy również będzie nieskończenie wiele. 

 

c.n.d.