Mówimy, że zbiór X jest podzbiorem zbioru Y, jeśli każdy element zbioru X jest elementem zbioru Y.

a) Dane są zbiory

$A=\left\{8k:k\in \mathbb{N}\right\}$

$B=\left\{4^k:k\in \mathbb{N}\wedge k\le 3\right\}$    

Zauważmy, że zbiór A składa się z naturalnych wielokrotności liczby 8, czyli

$A=\left\{0,8,16,24,32,\dots \right\}$  

Z kolei w zbiorze B mamy elementy postaci  $4^k$  , gdzie k jest liczbą naturalną nie większą od 3, zatem  $k\in \left\{0,1,2,3\right\}$      

czyli

$B=\left\{1,4,16,64\right\}$  

Zbiór A jest nieskończony, nie może więc być podzbiorem zbioru skończonego B.

Z kolei w zbiorze B, są elementy, których  nie ma w zbiorze A (np. 1), czyli zbiór B nie jest podzbiorem zbioru A. 

---

b) dane są zbiory

$A=\left\{3^k+1:k\in \mathbb{N}\wedge k<5\right\}$

$B=\left\{2k:k\in \mathbb{Z}\right\}$  

$C=\left\{6k+2:k\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}\right\}$   

Zbiór A składa się z liczb postaci  $3^k+1$  , gdzie k są liczbami naturalnym mniejszymi od 5, zatem $k\in \left\{0,1,2,3,4\right\}$     

czyli

$A=\left\{2,4,10,28,82\right\}$  

Zbiór B składa się z parzystych liczb całkowitych, 

$B=\left\{\dots ,-4,-2,0,2,4,6,\dots \right\}$  

Zbiór C składa się z liczb postaci  $6k+2$

$C=\left\{\dots ,-10,-4,8,14,\dots \right\}$  

 

Zauważmy, że wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru C są parzyste, zatem

•   $A\subset B$  

czyli zbiór A jest podzbiorem zbioru B (A zawiera się w B).

•   $C\subset B$  

czyli zbiór C jest podzbiorem zbioru B (C zawiera się w B).

---

c) dane są zbiory

$A=\left\{x\in \mathbb{N}:x<20\right\}$

$B=\left\{x\in \mathbb{N}:x=k^2,k\in \mathbb{N}\wedge k\le 4\right\}$   

$C=\left\{x\in \mathbb{Z}:-4\le x<20\right\}$  

Zauważmy, że elementami zbioru A są liczby naturalne mniejsze od 20, zatem

$A=\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\right\}$

Elementami zbioru B są liczby naturalne postaci  $k^2$  nie większą niż 4, zatem  $k\in \left\{0,1,2,3,4\right\}$  

czyli

$B=\left\{0,1,4,9,16\right\}$   

Elementami zbioru C są liczby całkowite większe równe -4 i mniejsze od 20, czyli

$C=\left\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\right\}$   

 

Zauważmy, że

wszystkie elementy zbioru A są jednocześnie elementami zbioru C, zatem

$A\subset C$

zbiór A jest podzbiorem zbioru C (A zawiera się w C) 

 

wszystkie elementy zbioru B, są elementami zbioru A, zatem

$B\subset A$

zbiór B jest podzbiorem zbioru A (B zawiera się w A)

 

wszystkie elementy zbioru B, są jednocześnie elementami zbioru C, czyli

$B\subset C$

zbiór B jest podzbiorem zbioru C (B zawiera się w C)