Przypomnijmy następujące prawa dla kwantyfikatorów:

1) I prawo de Morgana

$\neg \left(\underset{x}{\forall }p\left(x\right)\right)\iff \underset{x}{\exists }\neg p\left(x\right)$  

2) II prawo de Morgana

$\neg \left(\underset{x}{\exists }p\left(x\right)\right)\iff \underset{x}{\forall }\neg p\left(x\right)$  

a) dane jest zdanie 

"Każda liczba całkowita dodatnia jest iloczynem liczb pierwszych"

Zapisując je w sposób symboliczny otrzymamy

$\underset{x\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\forall }x=p_1\cdot \dots \cdot p_n$

gdzie  $n\in \mathbb{N},p_1,p_2,\dots ,p_n$  - są liczbami pierwszymi

korzystając z I prawa de Morgana dostajemy zaprzeczenie podanego zdania

$\neg \left(\underset{x\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\forall }x=p_1\cdot \dots \cdot p_n\right)\iff \underset{x\in {\mathbb{Z}}_{+}}{\exists }x\ne p_1\cdot \dots \cdot p_n$  

które słownie możemy zapisać jako

"Istnieje liczba całkowita dodatnia, która nie jest iloczynem liczb pierwszych."

---

b) dane jest zdanie

"Istnieje liczba wymierna, która podniesiona do potęgi czwartej jest równa 81."

Zapisując to zdanie w sposób symboliczny otrzymamy

$\underset{x\in \mathbb{Q}}{\exists }{x}^4=81$  

korzystając z II prawa de Morgana, otrzymamy zaprzeczenie podanego zdania

$\neg \left(\underset{x\in \mathbb{Q}}{\exists }{x}^4=81\right)\iff \underset{x\in \mathbb{Q}}{\forall }{x}^4\ne 81$  

które słownie możemy zapisać jako 

"Każda liczba wymierna podniesiona do potęgi czwartej jest różna od 81."

---

c) dane jest zdanie

"Każda liczba naturalna jest iloczynem dwóch liczb wymiernych"

Zapisując to zdanie w sposób symboliczny otrzymamy

$\underset{x\in \mathbb{N}}{\forall }x=p\cdot q$  

gdzie  $p,q\in \mathbb{Q}$  

korzystając z I prawa de Morgana, otrzymamy zaprzeczenie podanego zdania

$\neg \left(\underset{x\in \mathbb{N}}{\forall }x=p\cdot q\right)\iff \underset{x\in \mathbb{N}}{\exists }x\ne p\cdot q$  

które słownie możemy zapisać jako 

"Istnieje liczba naturalna, która nie jest iloczynem dwóch liczb wymiernych."

---

d)  dane jest zdanie

"Istnieje liczba całkowita x taka, że $x^2$  jest liczbą wymierną i $x^4$  jest liczbą niewymierną"

Zapisując to zdanie w sposób symboliczny otrzymamy

$\underset{x\in \mathbb{Z}}{\exists }\left(x^2\in \mathbb{Q}\wedge x^4\notin \mathbb{Q}\right)$  

korzystając z II prawa de Morgana, oraz z prawa zaprzeczenia koniunkcji otrzymamy

$\neg \left(\underset{x\in \mathbb{Z}}{\exists }\left(x^2\in \mathbb{Q}\wedge x^4\notin \mathbb{Q}\right)\right)\iff \underset{x\in \mathbb{Z}}{\forall }\neg \left(x^2\in \mathbb{Q}\wedge x^4\notin \mathbb{Q}\right)\iff \underset{x\in \mathbb{Z}}{\forall }\left(x^2\notin \mathbb{Q}\vee x^4\in \mathbb{Q}\right)$  

powyższe zaprzeczenie słownie możemy zapisać jako 

"Każda liczba całkowita x po podniesieniu do kwadratu jest liczbą niewymierną lub po podniesieniu do potęgi czwartej jest liczbą wymierną."

---

e) dane jest zdanie

"Dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x spełniona jest nierówność $\frac{x+1}{x}\ge 2$ "

Zapisując to zdanie w sposób symboliczny otrzymamy

$\underset{x\in {\mathbb{R}}_{+}}{\forall }\frac{x+1}{x}\ge 2$  

korzystając z I prawa de Morgana, otrzymamy zaprzeczenie podanego zdania

$\neg \left(\underset{x\in {\mathbb{R}}_{+}}{\forall }\frac{x+1}{x}\ge 2\right)\iff \underset{x\in {\mathbb{R}}_{+}}{\exists }\frac{x+1}{x}<2$  

które słownie możemy zapisać jako 

"Istnieje liczba rzeczywista dodatnia x, dla której spełniona jest nierówność   $\frac{x+1}{x}<2$  "

---

f) dane jest zdanie

"Istnieje liczba całkowita y taka, że dla każdej liczby całkowitej x zachodzi warunek $x^2>2y$  "

Zapisując to zdanie w sposób symboliczny otrzymamy

$\underset{y\in \mathbb{Z}}{\exists }\underset{x\in \mathbb{Z}}{\forall }{x}^2>2y$  

korzystając z II prawa de Morgana, otrzymamy

$\neg \left(\underset{y\in \mathbb{Z}}{\exists }\underset{x\in \mathbb{Z}}{\forall }{x}^2>2y\right)\iff \underset{y\in \mathbb{Z}}{\forall }\neg \left(\underset{x\in \mathbb{Z}}{\forall }{x}^2>2y\right)$  

korzystając z I prawa de Morgana dostajemy

$\underset{y\in \mathbb{Z}}{\forall }\neg \left(\underset{x\in \mathbb{Z}}{\forall }{x}^2>2y\right)\iff \underset{y\in \mathbb{Z}}{\forall }\underset{x\in \mathbb{Z}}{\exists }{x}^2\le 2y$  

powyższe zaprzeczenie słownie możemy zapisać jako 

"Dla każdej liczby całkowitej y, istnieje taka liczba całkowita x taka, że zachodzi warunek $x^2\le 2y$ "