Wykaż, że dla dowolnych liczb x,y...- Zadanie 5: Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1

Rozwiązanie

Rozpiszmy lewą i prawą stronę nierówności, zauważmy, że po lewej stronie mamy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów, a po prawej wzór na różnicę kwadratów:

$(x^{3} - y^{3})^{2} \geq ? (x^{2} - y^{2}) (x^{4} - y^{4})$

$((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}))^{2} \geq ? (x + y) (x - y) ((x^{2})^{2} - (y^{2})^{2})$

$(x - y)^{2} (x^{2} + x y + y^{2})^{2} \geq ? (x + y) (x - y) (x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})$

$(x - y)^{2} (x^{2} + x y + y^{2})^{2} \geq ? (x + y)^{2} (x - y)^{2} (x^{2} + y^{2})$

$(x - y)^{2} (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} + 2 x^{3} y + 2 x^{2} y^{2} + 2 x y^{3}) \geq ? (x - y)^{2} (x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} + y^{2})$

$(x - y)^{2} (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} + 2 x^{3} y + 2 x^{2} y^{2} + 2 x y^{3}) \geq ?$

$(x - y)^{2} (x^{4} + x^{2} y^{2} + 2 x^{3} y + 2 x y^{3} + x^{2} y^{2} + y^{4})$

$(x - y)^{2} (x^{4} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} + 2 x^{3} y + 2 x y^{3}) \geq ? (x - y)^{2} (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 2 x^{3} y + 2 x y^{3})$

zauważmy, że po wymnożeniu nawiasów po lewej i prawej stronie nierówności dostaniemy wyrażenia różniące się tylko współczynnikiem stojącym przy $x^{2} y^{2}$ czyli wystarczy, że sprawdzimy czy zachodzi: