Przekształćmy podane w zadaniu wyrażenie dla  $n\in \mathbb{N}$  

$2^{4n+4}-15n-16=2^{4\left(n+1\right)}-16-15n={\left(2^4\right)}^{n+1}-16-15n=$  

$={16}^{n+1}-16-15n=16\left({16}^n-1\right)-15n$  

Rozważmy przypadki:

1)   $n=0$   

wtedy:

$16\left({16}^n-1\right)-15n=16\left({16}^0-1\right)-15\cdot 0=16\left(1-1\right)=0$  

otrzymaliśmy liczbę podzielną przez 225. 

2)   $n>0$  0

zauważmy, że

${16}^n-1={16}^n-1^n$

zatem możemy rozpisać powyższe wyrażenie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę n-tych potęg, dostaniemy

${16}^n-1^n=\left(16-1\right)\left(\underset{n}{\underbrace{{16}^{n-1}+{16}^{n-2}+\dots +16+1}}\right)$  

(zauważmy, że w nawiasie mamy n czynników)

wstawiając, otrzymamy

$16\left({16}^n-1\right)-15n=16\left(16-1\right)\left({16}^{n-1}+{16}^{n-2}+\dots +16+1\right)-15n=$  

$=16\cdot 15\left({16}^{n-1}+{16}^{n-2}+\dots +16+1\right)-15n=15\left(16\left({16}^{n-1}+{16}^{n-2}+\dots +16+1\right)-n\right)=$  

$=15\left({16}^n+{16}^{n-1}+\dots +{16}^2+16-n\right)=$  

$=15\left(\underset{n}{\underbrace{{16}^n+{16}^{n-1}+\dots +{16}^2+16}}-\left(\underset{n}{\underbrace{1+1\dots +1+1}}\right)\right)$  

zauważmy, że w powyższym nawiasie mamy sumę n kolejnych potęg liczby 16 od której odejmujemy liczbę n (którą możemy rozbić na sumę n jedynek), możemy wyrażenie pogrupować następująco:

$15\left(\left({16}^n-1\right)+\left({16}^{n-1}-1\right)+\dots +\left({16}^2-1\right)+\left(16-1\right)\right)$  

podobnie jak wyżej zauważmy, że

$15\left(\left({16}^n-1\right)+\left({16}^{n-1}-1\right)+\dots +\left({16}^2-1\right)+\left(16-1\right)\right)=$  

$=15\left(\left({16}^n-1^n\right)+\left({16}^{n-1}-1^{n-1}\right)+\dots +\left({16}^2-1^2\right)+\left(16-1\right)\right)$  

ponownie korzystając ze wzoru na różnicę n-tych potęg dostajemy

$15\left(\left(16-1\right)\left({16}^{n-1}+\dots +16+1\right)+\dots +\left(16-1\right)\left(16+1\right)+\left(16-1\right)\right)=$  

$15\left(\left(16-1\right)\left({16}^{n-1}+\dots +16+1\right)+\dots +\left(16-1\right)\left(16+1\right)+\left(16-1\right)\right)=$  

$=15\left(15\left({16}^{n-1}+\dots +16+1\right)+\dots +15\left(16+1\right)+15\right)=$  

$=15(15\left({16}^n-1+2\cdot {16}^{n-2}+3\cdot {16}^{n-3}+\dots .+n\cdot 1\right)=$  

$=225\left(\underset{k}{\underbrace{{16}^n-1+2\cdot {16}^{n-2}+3\cdot {16}^{n-3}+\dots .+n\cdot 1}}\right)=225k,k\in \mathbb{Z}$  

otrzymaliśmy więc liczbę podzielną przez 225. 

 

c.n.d.