Z treści zadania wiemy,  że:

$\log 15=a,{\log }_2=b$

Chcemy wyznaczyć wartość:

${\log }_{27}50$

korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu (  ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$  ) dostajemy:

${\log }_{27}50=\frac{\log 50}{\log 27}$  

zauważmy, że możemy zapisać:

$\frac{\log 50}{\log 27}=\frac{\log \left(\frac{100}{2}\right)}{\log \left(\frac{27000}{1000}\right)}$  

 korzystając ze wzorów: 

${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$  

${\log }_a\left(b\cdot c\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$  

dostajemy:

$\frac{\log \left(\frac{100}{2}\right)}{\log \left(\frac{27000}{1000}\right)}=\frac{\log 100-\log 2}{\log \left(27000\right)-\log \left(1000\right)}=$  

$=\frac{2-b}{\log \left(2^3\cdot {15}^3\right)-3}=\frac{2-b}{\log \left(2^3\right)+\log \left({15}^3\right)-3}$

skorzystajmy jeszcze ze wzoru:

${\log }_a{b}^c=c{\log }_{a}b$  

otrzymujemy:

$\frac{2-b}{3\log 2+3\log 15-3}=\frac{2-b}{3b+3a-3}=\frac{2-b}{3\left(a+b-1\right)}$

 

Odp.  ${\log }_{27}50=\frac{2-b}{3\left(a+b-1\right)}$