Uprośćmy liczby a,b i c. 

1. Aby prościej zapisać liczbę a skorzystamy ze wzorów:

${\log }_{a^y}{b}^x=\frac{x}{y}{\log }_{a}b$

$a^{{\log }_{a}b}=b$   

 

otrzymujemy:

$a=2^{6{\log }_{4}2+1}=2^{6{\log }_{2^2}2}\cdot 2^1=2^{\frac{{\cancel{6}}^3}{{\cancel{2}}_1}{\log }_{2}2}\cdot 2=2^3\cdot 2=2^4=16$  

 

2. Następnie do policzenia liczby b użyjemy wzoru:

${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a\left(b\cdot c\right)$  

dostajemy:

$b={\log }_{\frac{\sqrt{3}}{3}}\left(\frac{3}{4}\right)+{\log }_{\frac{\sqrt{3}}{3}}108={\log }_{\frac{\sqrt{3}}{3}}\left(\frac{3}{{\cancel{4}}_1}\cdot {\cancel{108}}^{27}\right)=$  

$={\log }_{\frac{\sqrt{3}}{3}}\left(3\cdot 3^3\right)={\log }_{\frac{\sqrt{3}}{3}}{3}^4$  

z określenia logarytmu wiemy, że:

${\log }_{\frac{\sqrt{3}}{3}}{3}^4=b\iff {\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^b=3^4$

otrzymujemy:

${\left(\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3}\right)}^b=3^4$

$\left({\left(3^{\frac{1}{2}-1}\right)}^b\right)=3^4$

$3^{-\frac{1}{2}b}=3^4$

z monotoniczności funkcji wykładniczej i faktu, że jest różnowartościowa, dostajemy:

$-\frac{1}{2}b=4\mid :\left(-\frac{1}{2}\right)$

$b=-8$       

 

3. W kolejnym kroku uprościmy liczbę c:

$c=\log \left(2\cdot {\log }_5\sqrt{5}\right)=\log \left(2\cdot {\log }_5{5}^{\frac{1}{2}}\right)=\log \left({\cancel{2}}^1\cdot \frac{1}{{\cancel{2}}_1}\right)=\log 1=0$

 

4. Wróćmy teraz do wyrażenia podanego w zadaniu:

$c-2b=0-2\cdot \left(-8\right)=16=a$

 

c.n.d.