Chcemy udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x oraz y, zachodzi nierówność

$\frac{12x}{5y}+\frac{15y}{x}\ge 12$

przekształcając otrzymamy

$\frac{12x}{5y}+\frac{15y}{x}\ge 12\mid \cdot 5xy>0$

$x\cdot 12x+5y\cdot 15y\ge 5xy\cdot 12$

$12x^2+75y^2\ge 60xy\mid -60xy$

$12x^2-60xy+75y^2\ge 0$

${\left(\sqrt{12}x\right)}^2-60xy+{\left(\sqrt{75}y\right)}^2\ge 0$

${\left(2\sqrt{3}x\right)}^2-60xy+{\left(5\sqrt{3}y\right)}^2\ge 0$     

  ${\left(2\sqrt{3}x\right)}^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot 5xy+{\left(5\sqrt{3}y\right)}^2\ge 0$     

  ${\left(2\sqrt{3}x\right)}^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot 5\cdot xy+{\left(5\sqrt{3}y\right)}^2\ge 0$     

${\left(2\sqrt{3}x\right)}^2-2\left(2\sqrt{3}x\right)\left(5\sqrt{3}y\right)+{\left(5\sqrt{3}y\right)}^2\ge 0$     

${\left(2\sqrt{3}x-5\sqrt{3}y\right)}^2\ge 0$  

${\left(\left(\sqrt{3}\right)2x-5y\right)}^2\ge 0$

$3{\left(2x-5y\right)}^2\ge 0\mid :3$

${\left(2x-5y\right)}^2\ge 0$    

kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem wyjściowa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x oraz y. 

 

c.n.d.