a)

$f\left(x\right)=2x^2-6x-36$  

 

$a=2$  

$b=-6$  

$c=-36$  

 

$\Delta =b^2-4ac={\left(-6\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-36\right)=36+288=324$  

$\sqrt{\Delta }=18$   

 

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{6-18}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-3$  

 

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{6+18}{2\cdot 2}=\frac{24}{4}=6$  

 

 

---

b)

Przekształćmy wzór funkcji do postaci ogólnej:

$f\left(x\right)=-3{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+6\frac{3}{4}=-3\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+6\frac{3}{4}=-3x^2+3x-\frac{3}{4}+6\frac{3}{4}=-3x^2+3x+6$   

 

$a=-3$   

$b=3$  

$c=6$  

 

$\Delta =3^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 6=9+72=81$   

$\sqrt{\Delta }=9$  

 

$x_1=\frac{-3-9}{2\cdot \left(-3\right)}=-\frac{12}{-6}=2$   

 

$x_2=\frac{-3+9}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{6}{-6}=-1$   

 

 

---

c)

$f\left(x\right)=a\cdot \left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$   - postać iloczynowa funkcji kwadratowej, gdzie  $x_1,x_2$   to miejsca zerowe.

 

Zauważmy, że wzór funkcji w tym podpunkcie został podany właśnie w postaci iloczynowej - a więc miejsca zerowe tej funkcji to:

$x_1=\sqrt{2}$  

 

$x_2=-\sqrt{5}$