a) Zauważmy, że:

${\log }_{2}2\sqrt[5]{2}=x$  

$2^x=2\sqrt[5]{2}$     

$2^x=2^1\cdot 2^{\frac{1}{5}}$  

$2^x=2^{1+\frac{1}{5}}$  

$2^x=2^{1\frac{1}{5}}$  

$x=1\frac{1}{5}$  

$x=1\frac{2}{10}$  

$x=1,2$  

Zatem równość jest prawdziwa.

---

b) Zauważmy, że:

${\log }_{\sqrt{7}}\sqrt{49}=x$  

${\sqrt{7}}^x=\sqrt{49}$  

${\left(7^{\frac{1}{2}}\right)}^x=7$  

$7^{\frac{1}{2}x}=7^1$  

$\frac{1}{2}x=1\mid \cdot 2$  

$x=2$  

Zatem równość jest prawdziwa.

---

c) Zauważmy, że:

${\log }_{625}5\sqrt[3]{5}=x$  

${625}^x=5\sqrt[3]{5}$  

${\left(5^4\right)}^x=5^1\cdot 5^{\frac{1}{3}}$  

$5^{4x}=5^{1+\frac{1}{3}}$  

$4x=1\frac{1}{3}$  

$4x=\frac{4}{3}\mid :4$  

$x=\frac{1}{3}$  

Zatem równość nie jest prawdziwa, ponieważ  $\frac{1}{3}\ne 0,5.$  

---

d) Zauważmy, że:

${\log }_9\sqrt[7]{81}=x$  

$9^x=\sqrt[7]{81}$  

$9^x=9^{\frac{2}{7}}$  

$x=\frac{2}{7}$  

Zatem równość nie jest prawdziwa, ponieważ  $\frac{2}{7}\ne 3^4.$