a)

Do wykresu funkcji kwadratowej f

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$  

należą punkty o współrzędnych

$\left(1,-2\right),\left(3,-6\right),\left(0,-3\right)$  

Zatem zachodzi 

$f\left(1\right)=-2,f\left(3\right)=-6,f\left(0\right)=-3$  

Zauważmy, że dla f(0)=-3 dostajemy

$-3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$

$-3=c$

czyli funkcja f jest postaci

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx-3$

Z pozostałych dwóch zależności f(1) = -2 i f(3) = -6 otrzymujemy układ równań

$\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=-2\\ f\left(3\right)=-6\end{array}$  

rozwiążemy go np. metodą przeciwnych współczynników. 

Otrzymujemy

$\{\begin{array}{l}-2=a\cdot 1^2+b\cdot 1-3\\ -6=a\cdot 3^2+b\cdot 3-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2=a+b-3\\ -6=9a+3b-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1=a+b\\ -3=9a+3b\mid :\left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}1=a+b\\ 1=-3a-b\end{array}$  

dodajemy równania stronami, co daje

$2=-2a\mid :\left(-2\right)$

$-1=a$

wstawiamy a = -1 do równania 1 = a + b i otrzymujemy

$1=-1+b\mid +1$

$2=b$

czyli rozwiązaniem układu równań jest para liczb

$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}$       

Zatem funkcja f wyraża się wzorem

$f\left(x\right)=-x^2+2x-3$

---

b)

Do wykresu funkcji kwadratowej f należą punkty o współrzędnych

$\left(0,-5\right),\left(1,0\right),\left(-5,0\right)$  

Zatem zachodzi 

$f\left(0\right)=-5,f\left(1\right)=0,f\left(-5\right)=0$  

Zauważmy, że miejscami zerowymi funkcji f są liczby

$x_1=1,x_2=-5$  

Zatem funkcja f w postaci iloczynowej wyraża się wzorem

$f\left(x\right)=a\left(x-1\right)\left(x+5\right)$

Dodatkowo wiemy, że f(0) = -5, zatem

$-5=a\left(0-1\right)\left(0+5\right)$  

$-5=a\cdot \left(-1\right)\cdot 5$

$-5=-5a\mid :\left(-5\right)$

$1=a$

czyli funkcja f wyraża się wzorem

$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+5\right)=x^2+4x-5$