a) Wyznaczamy sinus kąta 𝛼:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sin \alpha }{\frac{2\sqrt{2}}{3}}\mid \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$  

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{2\cdot 2}{4\cdot 3}=\frac{1}{3}$  

---

Sprawdzimy, czy wartości funkcji trygonometrycznych spełniają jedynkę trygonometryczną. Jeśli tak - kąt ostry 𝛼 istnieje, jeśli nie - nie istnieje.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=\frac{9}{9}=1$  

---

Odp. Kąt ostry 𝛼 istnieje.

---

---

b) Wyznaczamy cosinus kąta 𝛼:

$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$\frac{1}{2}=\frac{\frac{2}{3}}{\cos \alpha }$  

$\frac{1}{2}=\frac{2}{3\cos \alpha }$  

$3\cos \alpha =2\cdot 2$  

$3\cos \alpha =4\mid :3$  

$\cos \alpha =\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}>1$  

Otrzymaliśmy, że cosinus kąta 𝛼 jest większy od 1. Wiemy, że funkcja cosinus może przyjąć co najwyżej wartość 1. Wynika stąd, że kąt ostry 𝛼 nie istnieje.

---

Odp. Kąt ostry 𝛼 nie istnieje.