Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

a) Założenie:

$\alpha ,\beta -$  miary kątów ostrych w trójkącie prostokątnym

Teza:

$\cos \alpha =\sin \left({90}^{\circ }-\alpha \right)$  

Dowód:

Z definicji funkcji sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym mamy:

$\cos \alpha =\frac{b}{c}$  

$\sin \beta =\frac{b}{c}$  

Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa 90°. Stąd:

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$  

$\beta ={90}^{\circ }-\alpha$  

I mamy:

$\cos \alpha =\sin \beta =\sin \left({90}^{\circ }-\alpha \right)$  

---

b) Założenie:

$\alpha ,\beta -$  miary kątów ostrych w trójkącie prostokątnym

Teza:

$\text{tg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\left({90}^{\circ }-\alpha \right)}$  

Dowód:

Z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym mamy:

$\text{tg}\alpha =\frac{a}{b}$  

$\text{tg}\beta =\text{tg}\left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{b}{a}$  

Mamy:

$\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}$  

Zatem:

$\text{tg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\left({90}^{\circ }-\alpha \right)}$