W trójkącie równoramiennym ABC takim, że |AC|=|BC|, wysokość poprowadzona z wierzchołka C dzieli ten trójkąt na dwa przystające trójkąty równoramienne. Ponadto, ta wysokość zawiera się w dwusiecznej kąta przy wierzchołku C.

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

$\text{a)}\left|AC\right|=10,\gamma ={42}^{\circ }$  

Z sumy kątów dla trójkąta ABC wyznaczamy miarę kąta 𝛼:

$2\alpha +\gamma ={180}^{\circ }$  

$2\alpha +{42}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$2\alpha ={138}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha ={69}^{\circ }$  

---

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta ADC:

$\frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|}=\cos \alpha$  

$\frac{\frac{1}{2}\left|AB\right|}{10}=\cos {69}^{\circ }$  

$\frac{1}{20}\left|AB\right|\approx 0,3584\mid \cdot 20$  

$\left|AB\right|\approx 7,17$  

---

$\text{Odp.}\alpha ={69}^{\circ },\left|AB\right|=7,17,\left|BC\right|=10.$  

---

---

$\text{b)}\left|AB\right|=25,\gamma ={70}^{\circ }$  

Z sumy kątów dla trójkąta ABC wyznaczamy miarę kąta 𝛼:

$2\alpha +\gamma ={180}^{\circ }$  

$2\alpha +{70}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$2\alpha ={110}^{\circ }\mid :2$  

$\alpha ={55}^{\circ }$  

---

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta ADC:

$\frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|}=\cos \alpha$  

$\frac{\frac{1}{2}\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\cos {55}^{\circ }$  

$\frac{\frac{1}{2}\cdot 25}{\left|AC\right|}\approx 0,5736\text{|}\cdot \left|AC\right|$  

$12,5\approx 0,5736\left|AC\right|\mid :0,5736$  

$\left|AC\right|\approx 21,8$  

---

$\text{Odp.}\alpha ={55}^{\circ },\left|AC\right|=\mid BC\lceil \sim 21,8.$  

---

---

$\text{c)}\left|AB\right|=5,\left|AC\right|=4$  

Z zależności trygonometrycznych dla trójkąta ADC:

$\cos \alpha =\frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\frac{1}{2}\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 5}{4}=\frac{2,5}{4}=0,625$  

Odczytujemy z tablic miarę kąta 𝛼:

$\alpha \approx {51}^{\circ }$  

---

Z sumy kątów dla trójkąta ABC wyznaczamy miarę kąta 𝛾:

$2\alpha +\gamma ={180}^{\circ }$  

$2\cdot {51}^{\circ }+\gamma \approx {180}^{\circ }$  

${102}^{\circ }+\gamma \approx {180}^{\circ }$  

$\gamma \approx {78}^{\circ }$  

---

$\text{Odp.}\alpha \approx {51}^{\circ },\gamma \approx {78}^{\circ },\left|BC\right|=4.$