Określ, czy układ jest oznaczony...- Zadanie Ćwiczenie 9: Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Rozwiązujemy układ równań.

${2 x - y = 6 2 x - 3 y = - 2$

Z pierwszego równania wyznaczamy 2x.

${2 x = y + 6 2 x - 3 y = - 2$

Podstawiamy 2x=y+6 do drugiego równania.

${2 x = y + 6 y + 6 - 3 y = - 2$

${2 x = y + 6 - 2 y = - 8 ∣ : (- 2)$

${2 x = y + 6 y = 4$

Podstawiamy y=4 do pierwszego równania.

${2 x = 4 + 6 y = 4$

${2 x = 10 ∣ : 2 y = 4$

${x = 5 y = 4$

Układ równań ma jedno rozwiązanie, więc jest oznaczony.

b) Rozwiązujemy układ równań.

${\frac{1}{3} x - \frac{1}{2} y = 2 ∣ \cdot 6 2 x - 3 y = 12$

${2 x - 3 y = 12 2 x - 3 y = 12$

Po przekształceniu pierwszego równania otrzymaliśmy, że oba równania układu mają taką samą postać. Wynika stąd, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań - są nimi pary liczb (x, y), spełniające równanie 2x-3y=12. Zatem układ równań jest nieoznaczony.

c) Rozwiązujemy układ równań.

${4 x - y = 3 2 x - 0, 5 y = 6 ∣ \cdot (- 2)$

${4 x - y = 3 - 4 x + y = - 12$

Dodajemy równania stronami.

$0 = - 9$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Wynika stąd, że układ równań jest sprzeczny.

d) Rozwiązujemy układ równań.

${2 x - y = 5 ∣ \cdot (- 2) 4 x - 2 y = 3$

${- 4 x + 2 y = - 10 4 x - 2 y = 3$

Dodajemy równania stronami.

$0 = - 7$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Wynika stąd, że układ równań jest sprzeczny.

e) Rozwiązujemy układ równań.

${- x + 2 y = 3 3 x - 6 y = - 9 ∣ : (- 3)$

${- x + 2 y = 3 - x + 2 y = 3$

Po przekształceniu pierwszego równania otrzymaliśmy, że oba równania układu mają taką samą postać. Wynika stąd, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań - są nimi pary liczb (x, y), spełniające równanie -x+2y=3. Zatem układ równań jest nieoznaczony.

f) Rozwiązujemy układ równań.

${3 x + y = 8 3 x - y = - 2$