$\text{a)}\left|\left|x+2\right|+2\right|\ge 4$  

Z własności wartości bezwzględnej:

$\left|x+2\right|+2\ge 4\text{lub}\left|x+2\right|+2\le -4$  

$\left|x+2\right|\ge 2\text{lub}\underset{\text{nieroˊwnosˊcˊ sprzeczna}}{\underbrace{\left|x+2\right|\le -6}}$  

Druga nierówność nie ma rozwiązań, ponieważ wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna.

Rozwiązujemy nierówność, która nam pozostała.

$\left|x+2\right|\ge 2$  

Z własności wartości bezwzględnej:

$x+2\ge 2\text{lub}x+2\le -2$  

$x\ge 0\text{lub}x\le -4$  

$x\in (-\infty ,-4⟩\cup ⟨0,+\infty )$  

---

$\text{b)}\left|\left|2-x\right|-1\right|<3$  

$\left|\left|x-2\right|-1\right|<3$  

Z własności wartości bezwzględnej:

$\left|x-2\right|-1<3\text{i}\left|x-2\right|-1>-2$  

$\left|x-2\right|<4\text{i}\underset{\text{nieroˊwnosˊcˊ toz˙samosˊciowa},x\in \mathbf{R}}{\underbrace{\left|x-2\right|>-1}}$  

Druga nierówność jest tożsamościowa, ponieważ wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna. W takim razie zbiorem rozwiązań tej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązujemy nierówność, która nam pozostała.

$\left|x-2\right|<4$  

Z własności wartości bezwzględnej:

$x-2<4\text{i}x-2>-4$  

$x<6\text{i}x>-2$  

$x\in \left(-2,6\right)$  

---

$\text{c)}\left|\left|\left|x-2\right|-2\right|-2\right|=2$  

Z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|\left|x-2\right|-2\right|-2=2\text{lub}\left|\left|x-2\right|-2\right|-2=-2$  

$\left|\left|x-2\right|-2\right|=4\text{lub}\left|\left|x-2\right|-2\right|=0$  

Ponownie, z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|x-2\right|-2=4\text{lub}\left|x-2\right|-2=-4\text{lub}\left|x-2\right|-2=0$  

$\left|x-2\right|=6\text{lub}\underset{\text{roˊwnanie sprzeczne}}{\underbrace{\left|x-2\right|=-2}}<0\text{lub}\left|x-2\right|=2$  

Drugie równanie nie ma rozwiązań, bo wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna. 

Rozwiązujemy równania, które nam pozostały.

$\left|x-2\right|=6\text{lub}\left|x-2\right|=2$  

$x-2=6\text{lub}x-2=-6\text{lub}x-2=2\text{lub}x-2=-2$  

$x=8\text{lub}x=-4\text{lub}x=4\text{lub}x=0$