$\text{a)}\frac{1}{\left|x\right|-5}$  

Mianownik ułamka nie może być równy 0, więc:

$\left|x\right|-5\ne 0$  

$\left|x\right|\ne 5$  

Czyli: 

$x\ne -5\text{i}x\ne 5$  

Podane wyrażenie ma sens liczbowy, gdy:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-5,5\right\}$  

---

$\text{b)}\frac{1}{\left|x\right|+7}$  

Mianownik ułamka nie może być równy 0, więc:

$\left|x\right|+7\ne 0$  

$\left|x\right|\ne -7$  

Wartość bezwzględna jest liczbą nieujemną, więc podane wyrażenie ma sens liczbowy dla wszystkich liczb rzeczywistych, czyli:

$x\in \mathbb{R}$  

---

$\text{c)}\frac{1}{\left|x\right|+x}$  

Mianownik ułamka nie może być równy 0, więc:

$\left|x\right|+x\ne 0$  

Rozważmy dwa przypadki:

1.  $x\ge 0$  

Stąd otrzymujemy, że:

$x+x\ne 0$  

$2x\ne 0$  

$x\ne 0$  

Czyli:

$x>0$  

2.  $x<0$  

Stąd otrzymujemy, że:

$-x+x\ne 0$  

$0\ne 0$  

Powyższe wyrażenie jest fałszywe, ponieważ liczba 0 jest równa liczbie 0. Czyli:

$x\in \varnothing$  

Podane wyrażenie ma sens liczbowy, gdy:

$x\in \left(0,+\infty \right)$  

---

$\text{d)}\frac{1}{\left|x\right|-x}$  

Mianownik ułamka nie może być równy 0, więc:

$\left|x\right|-x\ne 0$  

Rozważmy dwa przypadki:

1.  $x\ge 0$  

Stąd otrzymujemy, że:

$x-x\ne 0$  

$0\ne 0$  

Powyższe wyrażenie jest fałszywe, ponieważ liczba 0 jest równa liczbie 0. Czyli:

$x\in \varnothing$  

2.  $x<0$  

Stąd otrzymujemy, że:

$-x-x\ne 0$  

$-2x\ne 0$  

$x\ne 0$  

Czyli:

$x<0$  

Podane wyrażenie ma sens liczbowy, gdy:

$x\in \left(-\infty ,0\right)$