Wykaż, że dla dowolnych wartości ...- Zadanie 15: MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

Skorzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy:

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$

Zauważmy, że:

$x^{2} - x y + y^{2} = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} x \cdot y + y^{2} = \frac{3}{4} x^{2} + (\frac{1}{2} x)^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} x \cdot y + y^{2} =$

$= \frac{3}{4} x^{2} + (\frac{1}{2} x - y)^{2}$

Dowolna liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna. Suma liczb nieujemnych również jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Zatem:

$\frac{3}{4} x^{2} + (\frac{1}{2} x - y)^{2} \geq 0$

Czyli:

$x^{2} - x y + y^{2} \geq 0$

$b)$

Skorzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy:

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$

Zauważmy, że:

$x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2} + 4 y^{2} = (x - y)^{2} + 4 y^{2}$

Dowolna liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna. Suma liczb nieujemnych również jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Zatem:

$(x - y)^{2} + 4 y^{2} \geq 0$

Czyli:

$x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} \geq 0$

$c)$

Przekształcamy nierówność.

$x^{2} + y^{2} + 2 \geq 2 (x + y)$

$x^{2} + y^{2} + 2 \geq 2 x + 2 y ∣ - 2 x$

$x^{2} - 2 x + y^{2} + 2 \geq 2 y ∣ - 2 y$

$x^{2} - 2 x + y^{2} - 2 y + 2 \geq 0$

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - 2 y + 1 \geq 0$

Skorzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy:

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$

Zauważmy, że:

$x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} - 2 y + 1 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1 + y^{2} - 2 \cdot y \cdot 1 + 1 = (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}$

Dowolna liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna. Suma liczb nieujemnych również jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ . Zatem:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \geq 0$