$\text{a)}f\left(x\right)=x^2-5x+6$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$  

$x=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\text{lub}x=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Zapisujemy wzór funkcji f w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)$  

---

$\text{b)}f\left(x\right)=-2x^2-x+1$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 1=1+8=9,\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$  

$x=\frac{1-3}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\text{lub}x=\frac{1+3}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{4}{-4}=-1$  

Zapisujemy wzór funkcji f w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$f\left(x\right)=-2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)$  

---

$\text{c)}f\left(x\right)=-5x^2+25$  

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci iloczynowej, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$f\left(x\right)=-5x^2+25=-5\left(x^2-5\right)=-5\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)$  

Wzór funkcji f w postaci iloczynowej:

$f\left(x\right)=-5\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)$  

---

$\text{d)}f\left(x\right)=2x^2+5x+2$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta =5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$  

$x=\frac{-5-3}{2\cdot 2}=\frac{-8}{4}=-2\text{lub}x=\frac{-5+3}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

Zapisujemy wzór funkcji f w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$f\left(x\right)=2\left(x+2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$  

---

$\text{e)}f\left(x\right)=-x^2-16$  

$\Delta =0^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-16\right)=-64<0$  

Δ<0, więc wzór funkcji f nie ma postaci iloczynowej.

---

$\text{f)}f\left(x\right)=4x^2-4x+1$  

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci iloczynowej, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

$f\left(x\right)=4x^2-4x+1=4\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)=4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$  

Wzór funkcji f w postaci iloczynowej:

$f\left(x\right)=4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$  

---

$\text{g)}f\left(x\right)=-\sqrt{3}{x}^2-3\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

$\Delta ={\left(-3\sqrt{3}\right)}^2-4\cdot \left(-\sqrt{3}\right)\cdot \left(-2\sqrt{3}\right)=27-24=3,\sqrt{\Delta }=\sqrt{3}$  

$x=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2\cdot \left(-\sqrt{3}\right)}=\frac{2\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}}=-1\text{lub}x=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2\cdot \left(-\sqrt{3}\right)}=\frac{4\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}}=-2$  

Zapisujemy wzór funkcji f w postaci iloczynowej, pamiętając o współczynniku przy x²:

$f\left(x\right)=-\sqrt{3}\left(x+1\right)\left(x+2\right)$  

---

$\text{h)}f\left(x\right)=-12x^2-4x$  

Przekształcamy wzór funkcji f do postaci iloczynowej, wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

$f\left(x\right)=-12x^2-4x=-12x\left(x+\frac{1}{3}\right)$  

Wzór funkcji f w postaci iloczynowej:

$f\left(x\right)=-12x\left(x+\frac{1}{3}\right)$