a) Przyjmujmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Przy pomocy niewiadomych x i a wyrażamy długości boków trójkąta, więc x>0 oraz a>0.

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC:

${\left|AD\right|}^2+{\left|CD\right|}^2={\left|AC\right|}^2$  

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2=x^2$  

$\frac{1}{4}{a}^2+4a^2=x^2$  

$\frac{1}{4}{a}^2+\frac{16}{4}{a}^2=x^2$  

$\frac{17}{4}{a}^2=x^2\mid \cdot \frac{4}{17}$  

$a^2=\frac{4}{17}{x}^2$  

---

Obliczamy pole trójkąta ABC:

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a=a^2=\frac{4}{17}{x}^2$  

Zatem szukana funkcja dana jest wzorem:

$P\left(x\right)=\frac{4}{17}{x}^2,\text{gdzie}x>0$  

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Przy pomocy niewiadomych x i a wyrażamy długości boków trapezu, więc x>0 oraz a>0.

---

Trapez jest równoramienny, więc:

$y=\frac{\left|AB\right|-\left|CD\right|}{2}=\frac{5a-a}{2}=\frac{4a}{2}=2a$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AED:

$y^2+a^2=x^2$  

${\left(2a\right)}^2+a^2=x^2$  

$4a^2+a^2=x^2$  

$5a^2=x^2\mid \cdot \frac{1}{5}$  

$a^2=\frac{1}{5}{x}^2$  

---

Obliczamy pole trapezu:

$P=\frac{5a+a}{2}\cdot a=\frac{6a}{2}\cdot a=3a\cdot a=3a^2=3\cdot \frac{1}{5}{x}^2=\frac{3}{5}{x}^2$  

Zatem szukana funkcja dana jest wzorem:

$P\left(x\right)=\frac{3}{5}{x}^2,\text{gdzie}x>0$